Fiche de révision : Univers et issues d'une expérience aléatoire
En bref
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles. L'ensemble de toutes les issues est l'univers. Un événement est un sous-ensemble de l'univers. En situation d'équiprobabilité, chaque issue a la même probabilité. L'arbre pondéré permet de visualiser les issues et leurs probabilités.
Points clés
- Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
- L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues possibles.
- Une issue est un résultat possible de l'expérience.
- Un événement est un sous-ensemble de l'univers (une ou plusieurs issues).
- L'événement contraire de A, noté A̅, contient toutes les issues qui ne sont pas dans A.
- L'équiprobabilité signifie que toutes les issues ont la même probabilité.
- Un arbre pondéré représente les étapes d'une expérience aléatoire avec les probabilités sur les branches.
Définitions & formules
Univers
Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire, noté Ω.
Issue
Résultat possible d'une expérience aléatoire.
Événement
Sous-ensemble de l'univers. Un événement peut être élémentaire (une seule issue) ou composé (plusieurs issues).
Événement contraire
Événement noté A̅ qui contient toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.
Équiprobabilité
Situation où chaque issue de l'univers a la même probabilité.
Probabilité d'un événement
En situation d'équiprobabilité : P(A) = (nombre d'issues favorables à A) / (nombre total d'issues).
Arbre pondéré
Diagramme en arbre où chaque branche porte une probabilité. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Méthode flash
- 1Identifier l'expérience aléatoire et lister toutes les issues possibles (univers Ω).
- 2Si l'expérience comporte plusieurs étapes, construire un arbre pondéré en partant de la racine.
- 3Pour calculer la probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité : compter le nombre d'issues favorables et diviser par le nombre total d'issues.
- 4Pour l'événement contraire : P(A̅) = 1 - P(A).
Exemple corrigé
Énoncé
On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Résolution
Univers Ω = {1,2,3,4,5,6} (6 issues équiprobables). Événement A = {2,4,6} (3 issues). P(A) = 3/6 = 1/2.
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre issue et événement : dire que l'issue est l'événement.
✅ Correct : Une issue est un résultat unique ; un événement est un ensemble d'issues.
❌ Faux : Oublier que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit être 1.
✅ Correct : Vérifier que les probabilités sur les branches d'un même nœud additionnent à 1.
❌ Faux : Croire que l'équiprobabilité est toujours vraie.
✅ Correct : L'équiprobabilité n'est vraie que si l'expérience est conçue pour que chaque issue ait la même chance (dé équilibré, pièce non truquée, etc.).
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