Univers et issues d'une expérience aléatoire

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu lances un dé, tu ne peux pas prévoir avec certitude le résultat : c'est une expérience aléatoire. Pourtant, on peut décrire tous les résultats possibles et étudier les chances de chacun. C'est le point de départ des probabilités : modéliser le hasard.

Les notions essentielles

Expérience aléatoire

Une expérience est aléatoire quand on ne peut pas prévoir son résultat à l'avance, mais qu'on connaît tous les résultats possibles. Exemples : lancer un dé, tirer une carte, lancer une pièce.

Univers

L'univers (noté souvent Ω) est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Chaque résultat est appelé une issue.

Exemple : pour un dé à 6 faces, Ω = {1;2;3;4;5;6}. Il y a 6 issues.

Événement

Un événement est un ensemble d'issues. On le note souvent par une lettre majuscule (A, B...). Un événement peut être :

• élémentaire : une seule issue (ex: "obtenir 3")
• certain : toutes les issues (ex: "obtenir un nombre entre 1 et 6")
• impossible : aucune issue (ex: "obtenir 7")

Événement contraire

L'événement contraire de A, noté \bar{A} ou non A, est l'ensemble des issues qui ne sont pas dans A.

Exemple : A = "obtenir un nombre pair" = {2;4;6}. Son contraire est "obtenir un nombre impair" = {1;3;5}.

Équiprobabilité

On dit qu'il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité de se produire. C'est le cas d'un dé équilibré, d'une pièce non truquée, d'une urne avec des boules identiques.

Arbre

Un arbre est un schéma qui représente tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire, surtout quand elle se déroule en plusieurs étapes. Chaque branche correspond à une issue.

Exemple : lancer deux fois une pièce. L'arbre a 4 branches : PP, PF, FP, FF.

Méthode

Pour décrire une expérience aléatoire :

1. Identifier l'expérience et ses étapes éventuelles.
2. Lister toutes les issues possibles (univers).
3. Vérifier si les issues sont équiprobables (sinon, on ne peut pas utiliser la formule simple).
4. Définir les événements comme des sous-ensembles de l'univers.
5. Construire un arbre si l'expérience a plusieurs étapes.

Exemple corrigé

Énoncé : On lance un dé équilibré à 6 faces. On note le numéro obtenu.

1. Donner l'univers.
2. Écrire l'événement A : "obtenir un nombre pair".
3. Écrire l'événement contraire de A.
4. Y a-t-il équiprobabilité ?

Correction :

1. Univers Ω = {1;2;3;4;5;6}. Il y a 6 issues.
2. A = {2;4;6}.
3. \bar{A} = {1;3;5} (nombres impairs).
4. Oui, car le dé est équilibré : chaque face a la même chance de sortir.

Exemple avec arbre : On lance une pièce de monnaie deux fois de suite.

• Univers : {PP, PF, FP, FF} (4 issues).
• Arbre : première étape : P ou F ; pour chaque, deuxième étape : P ou F.
• Équiprobable si la pièce est équilibrée.

Erreurs fréquentes

• Confondre issue et événement : une issue est un résultat unique ; un événement peut en contenir plusieurs.
• Oublier l'ordre dans un arbre : dans un lancer de deux dés, (1;2) et (2;1) sont deux issues différentes si on distingue l'ordre.
• Croire que l'univers est toujours équiprobable : ce n'est pas automatique ; il faut vérifier les conditions (dé équilibré, etc.).
• Mal écrire le contraire : le contraire de "obtenir un nombre pair" n'est pas "obtenir un nombre impair" ? Si, c'est correct. Mais attention : le contraire de "obtenir au moins 3" est "obtenir 1 ou 2".

À retenir

• Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues.
• L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues.
• Un événement est un sous-ensemble de Ω.
• L'événement contraire contient les issues qui ne sont pas dans l'événement.
• Équiprobabilité : toutes les issues ont la même chance.
• Un arbre aide à visualiser les issues d'expériences à plusieurs étapes.

Pour s'entraîner

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