Fiche de révision : Union, intersection et appartenance à un intervalle
En bref
Maîtrise les opérations sur les intervalles (union, intersection), l'appartenance d'un nombre à un intervalle, la représentation sur la droite graduée, les ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R), la valeur absolue et l'encadrement.
Points clés
- L'union de deux intervalles I∪J contient tous les nombres appartenant à I ou à J.
- L'intersection I∩J contient les nombres appartenant à la fois à I et à J.
- Un nombre appartient à un intervalle s'il vérifie les inégalités correspondantes.
- Les ensembles de nombres s'emboîtent : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
- La valeur absolue |x| est la distance de x à 0 sur la droite graduée.
- Un encadrement donne un intervalle contenant un nombre, par exemple a ≤ x ≤ b.
Définitions & formules
Union (I ∪ J)
Ensemble des réels appartenant à I ou à J (ou aux deux).
Intersection (I ∩ J)
Ensemble des réels appartenant à la fois à I et à J.
Appartenance (∈)
x ∈ I signifie que x est un élément de l'intervalle I.
Valeur absolue |x|
|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Encadrement
Écriture a ≤ x ≤ b (ou a < x < b) qui définit un intervalle.
Méthode flash
- 1Représenter chaque intervalle sur une droite graduée.
- 2Pour l'union : colorier toute zone couverte par au moins un intervalle.
- 3Pour l'intersection : ne garder que la zone commune aux deux intervalles.
- 4Écrire le résultat sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.
Exemple corrigé
Énoncé
Soient I = [1 ; 4] et J = ]2 ; 5]. Déterminer I ∪ J et I ∩ J.
Résolution
I ∪ J = [1 ; 5] (tous les nombres de 1 à 5). I ∩ J = ]2 ; 4] (nombres strictement supérieurs à 2 et ≤ 4).
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre union et intersection : prendre la partie commune pour l'union.
✅ Correct : L'union regroupe tout, l'intersection ne garde que le commun.
❌ Faux : Oublier les bornes ouvertes/fermées : écrire [2;5] au lieu de ]2;5].
✅ Correct : Vérifier si la borne est incluse (crochet tourné vers l'intérieur) ou exclue (crochet tourné vers l'extérieur).
❌ Faux : Croire que N, Z, D, Q, R sont disjoints.
✅ Correct : Ils sont inclus les uns dans les autres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
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