Union, intersection et appartenance à un intervalle

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des ensembles de nombres comme N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), D (décimaux), Q (rationnels) et R (réels). Mais comment combiner deux intervalles ? Par exemple, si tu veux décrire tous les nombres qui sont dans l'intervalle [2 ; 5] ou dans l'intervalle [4 ; 7], tu utilises l'union. Si tu veux ceux qui sont à la fois dans les deux, tu utilises l'intersection. Ces opérations sont très utiles pour résoudre des inéquations ou des problèmes de distances.

Les notions essentielles

Ensembles de nombres

N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...} (entiers naturels)
Z = {..., -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...} (entiers relatifs)
D = nombres avec un nombre fini de chiffres après la virgule (ex : 3,14 ; -0,5)
Q = nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction a/b avec a et b entiers, b ≠ 0 (ex : 1/3, -7/2)
R = tous les nombres réels (y compris π, √2)

On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux bornes. Il peut être :

Fermé : [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b
Ouvert : ]a ; b[ signifie a < x < b
Semi-ouvert : [a ; b[ ou ]a ; b]
Infini : [a ; +∞[ , ]-∞ ; b] , etc.

Appartenance

On note x ∈ I si x appartient à l'intervalle I. Par exemple, 3 ∈ [2 ; 5] mais 6 ∉ [2 ; 5].

Union et intersection

Union de deux intervalles I et J : notée I ∪ J, c'est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (ou aux deux).
Intersection de deux intervalles I et J : notée I ∩ J, c'est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance entre x et 0 sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.

Si x ≥ 0, |x| = x
Si x < 0, |x| = -x

Encadrement

Un encadrement de x est une double inégalité : a ≤ x ≤ b. Par exemple, 2,5 ≤ x ≤ 3,1.

Méthode

Pour déterminer l'union ou l'intersection de deux intervalles

Trace une droite graduée et place les bornes des deux intervalles.
Colorie chaque intervalle d'une couleur différente.
Union : prends toute la partie coloriée (au moins une couleur).
Intersection : prends la partie où les deux couleurs se superposent.
Écris le résultat sous forme d'intervalle (ou de réunion d'intervalles si nécessaire).

Pour calculer une valeur absolue

Si le nombre est positif ou nul, garde-le.
Si le nombre est négatif, change son signe.

Pour encadrer

Utilise les inégalités et les opérations compatibles (addition, multiplication par un nombre positif conserve l'ordre, par un nombre négatif le renverse).

Exemple corrigé

Énoncé : Soient I = [2 ; 5] et J = ]4 ; 7]. Déterminer I ∪ J et I ∩ J. Vérifier si 4,5 appartient à I ∩ J.

Correction :

Droite graduée :
- I : de 2 à 5, bornes incluses (2 et 5).
- J : de 4 (exclu) à 7 (inclus).
Union : On prend tous les nombres de I ou de J. Cela va de 2 (inclus) jusqu'à 7 (inclus), mais attention : entre 5 et 7, seul J est présent, donc l'union est [2 ; 7].
- Vérifie : 2 ∈ I, 3 ∈ I, 4,5 ∈ I et J, 6 ∈ J, 7 ∈ J. Donc I ∪ J = [2 ; 7].
Intersection : On prend les nombres qui sont à la fois dans I et dans J. Cela commence après 4 (car J commence après 4) et va jusqu'à 5 (car I s'arrête à 5). Comme 4 n'est pas dans J, l'intersection est ]4 ; 5].
- Vérifie : 4,5 ∈ I et J, 5 ∈ I mais 5 ∈ J ? Oui, car J va jusqu'à 7 inclus, donc 5 ∈ J. Donc I ∩ J = ]4 ; 5].
Appartenance : 4,5 ∈ I ∩ J ? Oui, car 4,5 > 4 et 4,5 ≤ 5, donc 4,5 ∈ ]4 ; 5].

Réponse : I ∪ J = [2 ; 7] ; I ∩ J = ]4 ; 5] ; 4,5 ∈ I ∩ J.

Erreurs fréquentes

Confondre union et intersection : l'union est plus grande, l'intersection est plus petite.
Oublier les bornes : vérifie si les extrémités sont incluses ou exclues.
Mal placer les crochets : [ signifie inclus, ] signifie exclu.
Croire que l'intersection de deux intervalles est toujours un intervalle : parfois c'est vide (∅) ou deux intervalles séparés.
Erreur sur la valeur absolue : |x| n'est pas égal à x si x est négatif.

À retenir

Union : tous les éléments de I ou J.
Intersection : éléments communs à I et J.
Valeur absolue : distance à zéro, toujours positive.
Encadrement : double inégalité.
Droite graduée : outil visuel indispensable.

Pour s'entraîner

Pour vérifier que tu as bien compris, rends-toi sur AlloSeconde : tu y trouveras des exercices interactifs sur les unions et intersections d'intervalles, des quiz sur les ensembles de nombres et des fiches de révision. Bon courage !