Fiche de révision : Valeur absolue et distance sur la droite réelle
En bref
La valeur absolue d'un nombre réel mesure sa distance à zéro. Elle permet de calculer la distance entre deux points sur la droite graduée. Les intervalles décrivent des ensembles de nombres réels. Les ensembles N, Z, D, Q, R sont emboîtés. Un encadrement donne une approximation d'un nombre.
Points clés
- La valeur absolue de x, notée |x|, est la distance de x à 0 : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
- La distance entre deux réels a et b est |a - b|.
- Les intervalles sont des sous-ensembles de R : [a;b], ]a;b[, [a;b[, ]a;b], ]-∞;a], [a;+∞[, etc.
- Les ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
- Un encadrement de x par deux nombres a et b s'écrit a ≤ x ≤ b (ou a < x < b).
- |x| < r équivaut à -r < x < r (r > 0).
- |x - a| < r signifie que x est à une distance inférieure à r de a.
Définitions & formules
Valeur absolue
|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Distance entre a et b
d(a,b) = |a - b|.
Intervalle fermé [a;b]
Ensemble des x tels que a ≤ x ≤ b.
Intervalle ouvert ]a;b[
Ensemble des x tels que a < x < b.
Encadrement
Donner deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b.
Méthode flash
- 1Pour calculer |x| : si x ≥ 0, garder x ; si x < 0, prendre -x.
- 2Pour calculer la distance entre a et b : faire |a - b|.
- 3Pour résoudre |x - a| < r : écrire -r < x - a < r, puis ajouter a : a - r < x < a + r.
- 4Pour encadrer un nombre : trouver deux valeurs qui l'encadrent (par exemple, π : 3,14 < π < 3,15).
Exemple corrigé
Énoncé
Calcule | -5 | et la distance entre -2 et 3.
Résolution
| -5 | = 5 (car -5 < 0). Distance = | -2 - 3 | = | -5 | = 5.
Pièges à éviter
❌ Faux : Croire que |x| = x toujours.
✅ Correct : |x| = x si x ≥ 0, mais |x| = -x si x < 0 (ex: |-3| = 3).
❌ Faux : Confondre intervalle ouvert et fermé.
✅ Correct : Fermé [a;b] inclut a et b ; ouvert ]a;b[ ne les inclut pas.
❌ Faux : Écrire |a - b| = a - b.
✅ Correct : |a - b| est toujours positif ou nul ; on ne peut pas enlever la valeur absolue sans connaître l'ordre.
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