Valeur absolue et distance sur la droite réelle

Ce qu'il faut comprendre

La valeur absolue est un outil qui permet de mesurer la distance entre deux nombres sur une droite graduée. Imagine que tu te déplaces sur une route : la distance entre ta position et un point donné ne dépend pas du sens (aller ou retour). De même, la valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro, toujours positive. Par exemple, la distance entre 3 et 0 est 3, et celle entre -3 et 0 est aussi 3. On note |3| = 3 et |-3| = 3.

Cette notion est très utile pour comparer des nombres, encadrer des valeurs, ou résoudre des équations et inéquations. Elle te servira aussi plus tard pour étudier des fonctions.

Les notions essentielles

Définition de la valeur absolue

Pour tout nombre réel x, on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :

Si x ≥ 0, alors |x| = x.
Si x < 0, alors |x| = -x.

Exemples : |5| = 5, |0| = 0, |-3| = 3.

Distance entre deux nombres

Sur une droite graduée, la distance entre deux points d'abscisses a et b est |a - b| (ou |b - a|, c'est pareil).

Exemple : distance entre -2 et 4 : |(-2) - 4| = |-6| = 6.

Lien avec les intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux bornes. Par exemple, l'intervalle [2 ; 5] contient tous les nombres de 2 à 5 inclus.

La valeur absolue permet de décrire des intervalles centrés :

|x - a| ≤ r signifie que x est à une distance ≤ r de a, donc x ∈ [a - r ; a + r].
|x - a| ≥ r signifie que x est à une distance ≥ r de a, donc x ∉ ]a - r ; a + r[.

Ensembles de nombres

N : entiers naturels (0, 1, 2, ...)
Z : entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
D : nombres décimaux (écriture décimale finie, ex : 3,14)
Q : nombres rationnels (fractions, ex : 1/3)
R : nombres réels (tous les nombres, y compris √2, π)

Tous ces ensembles sont inclus les uns dans les autres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Méthode

Calculer une valeur absolue

Regarde le signe du nombre.
Si le nombre est positif ou nul, garde-le tel quel.
Si le nombre est négatif, prends son opposé (enlève le signe moins).

Calculer une distance

Soustrais les deux nombres (dans l'ordre que tu veux).
Prends la valeur absolue du résultat.

Résoudre une équation du type |x - a| = r (avec r ≥ 0)

L'équation signifie que la distance entre x et a est r.
Les solutions sont x = a - r et x = a + r.

Résoudre une inéquation du type |x - a| ≤ r (avec r ≥ 0)

Cela signifie que x est à une distance ≤ r de a.
L'ensemble des solutions est l'intervalle [a - r ; a + r].

Résoudre une inéquation du type |x - a| ≥ r (avec r ≥ 0)

Cela signifie que x est à une distance ≥ r de a.
L'ensemble des solutions est ]-∞ ; a - r] ∪ [a + r ; +∞[.

Exemple corrigé

Énoncé : Résous l'équation |x - 3| = 5, puis l'inéquation |x - 3| ≤ 5.

Correction :

Équation |x - 3| = 5
- Cela signifie que la distance entre x et 3 est 5.
- Donc x = 3 - 5 = -2 ou x = 3 + 5 = 8.
- Les solutions sont -2 et 8.
Inéquation |x - 3| ≤ 5
- Cela signifie que la distance entre x et 3 est ≤ 5.
- Donc x ∈ [3 - 5 ; 3 + 5] = [-2 ; 8].
- L'ensemble des solutions est l'intervalle [-2 ; 8].

Erreurs fréquentes

Confondre valeur absolue et opposé : |x| n'est pas toujours égal à -x. C'est seulement quand x est négatif. Pour x positif, |x| = x.
Oublier que la distance est toujours positive : |a - b| ≥ 0, jamais négatif.
Mal appliquer la règle des signes : Par exemple, | -3 - 5| = |-8| = 8, et non -8.
Croire que |x| = x pour tout x : C'est faux, par exemple |-3| = 3 ≠ -3.
Pour les inéquations, oublier les crochets : |x - a| ≤ r donne un intervalle fermé, |x - a| < r donne un intervalle ouvert.

À retenir

|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Distance entre a et b : |a - b|.
|x - a| = r ⇔ x = a - r ou x = a + r.
|x - a| ≤ r ⇔ x ∈ [a - r ; a + r].
|x - a| ≥ r ⇔ x ∈ ]-∞ ; a - r] ∪ [a + r ; +∞[.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser la valeur absolue et les distances. Bon courage !