Fiche de révision : Nombres rationnels et irrationnels
En bref
Un nombre rationnel s'écrit comme quotient de deux entiers (ex: 2/3). Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire ainsi (ex: √2, π). L'ensemble des réels R contient tous les nombres. Les intervalles, la valeur absolue et les encadrements permettent de décrire des parties de R.
Points clés
- N ∈ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : tout entier est décimal, tout décimal est rationnel, tout rationnel est réel.
- Un nombre rationnel a une écriture décimale périodique ou finie.
- Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique.
- La droite graduée représente tous les réels ; chaque point correspond à un unique réel.
- Un intervalle [a;b] contient tous les réels x tels que a ≤ x ≤ b.
- La valeur absolue |x| est la distance de x à 0 sur la droite graduée.
- Un encadrement donne deux nombres entre lesquels se trouve un nombre inconnu.
Définitions & formules
Nombre rationnel
Nombre qui peut s'écrire a/b avec a et b entiers, b ≠ 0.
Nombre irrationnel
Nombre réel qui n'est pas rationnel.
Ensemble R
Ensemble de tous les nombres réels (rationnels + irrationnels).
Ensemble Q
Ensemble des nombres rationnels.
Ensemble D
Ensemble des nombres décimaux (écriture décimale finie).
Ensemble Z
Ensemble des entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
Ensemble N
Ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...).
Intervalle [a;b]
Ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.
Valeur absolue |x|
|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Encadrement
Écrire a < x < b (ou avec ≤) pour situer x entre a et b.
Méthode flash
- 1Pour reconnaître un rationnel : vérifier si le nombre peut s'écrire sous forme de fraction d'entiers.
- 2Pour placer un nombre sur la droite graduée : utiliser son écriture décimale approchée.
- 3Pour déterminer un intervalle : identifier les bornes et le type d'inégalité (ouvert/fermé).
- 4Pour calculer une valeur absolue : appliquer la définition selon le signe de l'expression.
Exemple corrigé
Énoncé
√2 est-il rationnel ? Encadrer √2 entre deux entiers consécutifs.
Résolution
√2 n'est pas rationnel (démonstration par l'absurde). Comme 1²=1 et 2²=4, on a 1 < √2 < 2.
Pièges à éviter
❌ Faux : Croire que tous les nombres décimaux sont des entiers.
✅ Correct : Un décimal peut avoir une partie décimale non nulle (ex: 3,14).
❌ Faux : Penser que √4 est irrationnel.
✅ Correct : √4 = 2, qui est entier donc rationnel.
❌ Faux : Confondre intervalle ouvert et fermé.
✅ Correct : [a;b] inclut a et b ; ]a;b[ ne les inclut pas.
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