Nombres rationnels et irrationnels

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des nombres comme 3, -5, 0,5 ou 2/3. Mais sais-tu qu'il existe des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction ? Par exemple, √2 ou π. Ce sont des nombres irrationnels. Dans ce cours, tu vas apprendre à distinguer les nombres rationnels (ceux qui s'écrivent en fraction) des irrationnels, et à les placer sur une droite graduée. Tu découvriras aussi comment encadrer un nombre et utiliser la valeur absolue pour mesurer des distances. Ces notions sont essentielles pour bien comprendre les nombres réels et les intervalles.

Les notions essentielles

Ensembles de nombres

N : ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...).
Z : ensemble des entiers relatifs (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).
D : ensemble des nombres décimaux (ceux qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,14 ou -0,5).
Q : ensemble des nombres rationnels (ceux qui peuvent s'écrire sous forme d'une fraction a/b avec a et b entiers, b ≠ 0).
R : ensemble des nombres réels (tous les nombres, rationnels et irrationnels).

Inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel. Il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. Son écriture décimale est infinie et non périodique. Exemples : √2, √3, π, e.

Droite graduée

Les nombres réels sont représentés sur une droite graduée. Chaque point correspond à un unique nombre réel. Les nombres rationnels et irrationnels sont tous sur cette droite.

Intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Il peut être :

Fermé : [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b.
Ouvert : ]a ; b[ signifie a < x < b.
Semi-ouvert : [a ; b[ ou ]a ; b].
Infini : [a ; +∞[ ou ]-∞ ; b].

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance entre x et 0 sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.

Si x ≥ 0, |x| = x.
Si x < 0, |x| = -x.

Propriété : |x - a| est la distance entre x et a.

Encadrement

Encadrer un nombre réel, c'est trouver deux nombres (souvent décimaux) entre lesquels il se trouve. Par exemple, 1,41 < √2 < 1,42.

Méthode

Pour reconnaître un nombre rationnel

Si le nombre est donné sous forme de fraction, il est rationnel.
Si le nombre est décimal (écriture finie), il est rationnel.
Si le nombre a une écriture décimale infinie périodique (comme 0,333... = 1/3), il est rationnel.
Sinon, il est irrationnel.

Pour déterminer un intervalle

Lis les bornes et regarde si elles sont incluses (crochets fermés) ou exclues (crochets ouverts).
Pour l'infini, toujours un crochet ouvert.

Pour calculer une valeur absolue

Si le nombre est positif, garde-le.
Si le nombre est négatif, prends son opposé.

Pour encadrer un nombre

Utilise une calculatrice pour obtenir une valeur approchée.
Choisis un encadrement à la précision souhaitée (au dixième, au centième, etc.).

Exemple corrigé

Énoncé : Soit x = √5.

Montrer que x est irrationnel.
Donner un encadrement de x à 0,01 près.
Calculer |x - 2| et interpréter.

Correction :

√5 n'est pas un nombre décimal (son écriture est infinie non périodique) et on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction. Donc √5 est irrationnel.
Avec la calculatrice, √5 ≈ 2,23607... Donc 2,23 < √5 < 2,24 (encadrement au centième).
|√5 - 2| = √5 - 2 car √5 > 2. Cela donne environ 0,236. C'est la distance entre √5 et 2 sur la droite graduée.

Erreurs fréquentes

Confondre rationnel et décimal : Tous les décimaux sont rationnels, mais l'inverse est faux (ex : 1/3 est rationnel mais pas décimal).
Croire que √4 est irrationnel : √4 = 2, c'est un entier, donc rationnel.
Mal interpréter les crochets : [a ; b] inclut a et b, ]a ; b[ les exclut.
Oublier que la valeur absolue est toujours positive : |x| ≥ 0.
Encadrer sans respecter l'ordre : Toujours borne inférieure < nombre < borne supérieure.

À retenir

Rationnel = peut s'écrire en fraction. Irrationnel = pas de fraction.
Inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Valeur absolue = distance à zéro.
Intervalle : ensemble de nombres entre deux bornes.
Encadrement : deux nombres qui entourent le nombre.

Pour s'entraîner

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