Fiche de révision : Intervalles de R et notations
En bref
Les nombres réels (R) incluent les entiers (Z), décimaux (D) et rationnels (Q). Les intervalles sont des sous-ensembles de R représentés sur une droite graduée. La valeur absolue mesure la distance à zéro. Un encadrement donne une fourchette de valeurs.
Points clés
- R contient tous les nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
- Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes, incluses ou non.
- Notations : [a;b] pour bornes incluses, ]a;b[ pour exclues, [a;+∞[ pour infini.
- La valeur absolue |x| = x si x≥0, -x si x<0 ; elle représente une distance.
- Un encadrement s'écrit a ≤ x ≤ b ou a < x < b selon la précision.
- L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des réels communs aux deux.
- La réunion de deux intervalles est l'ensemble des réels appartenant à au moins l'un des deux.
Définitions & formules
Intervalle
Ensemble de tous les réels compris entre deux bornes.
Valeur absolue
|x| = distance de x à 0 sur la droite graduée.
Encadrement
Écriture a ≤ x ≤ b (ou a < x < b) qui donne une fourchette pour x.
Intersection
I ∩ J = {x ∈ R | x ∈ I et x ∈ J}.
Réunion
I ∪ J = {x ∈ R | x ∈ I ou x ∈ J}.
Méthode flash
- 1Représenter un intervalle : tracer la droite graduée, hachurer la zone entre les bornes, cercle plein si inclus, vide si exclu.
- 2Lire un intervalle sur la droite : repérer les bornes et le type de cercle (plein/vide).
- 3Calculer une valeur absolue : si nombre positif, garder le nombre ; si négatif, prendre l'opposé.
- 4Encadrer un nombre : trouver deux nombres (souvent entiers) qui l'encadrent, par exemple 3,14 est encadré par 3 et 4.
Exemple corrigé
Énoncé
Donner l'intervalle correspondant à x ≥ -2 et x < 5.
Résolution
x ≥ -2 donne [-2;+∞[, x < 5 donne ]-∞;5[. L'intersection est [-2;5[.
Pièges à éviter
❌ Faux : Écrire [a;b] pour a > b.
✅ Correct : Un intervalle s'écrit toujours avec la plus petite borne à gauche.
❌ Faux : Confondre ]a;b[ et [a;b] : oublier que le crochet vers l'intérieur signifie inclus.
✅ Correct : Crochet tourné vers l'intérieur = inclus, vers l'extérieur = exclu.
❌ Faux : Croire que |x| = x pour tout x.
✅ Correct : |x| = x si x ≥ 0, mais |x| = -x si x < 0.
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