Intervalles de R et notations

Ce qu'il faut comprendre

En Seconde, tu manipules les nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres que tu connais : entiers, décimaux, fractions, racines carrées, etc. Mais souvent, on a besoin de parler d'un ensemble de nombres qui vérifient une certaine condition, par exemple « tous les nombres compris entre 2 et 5 ». Pour cela, on utilise les intervalles. C'est une notation pratique pour décrire des portions de la droite numérique. Par exemple, au lieu d'écrire « x est compris entre 2 et 5 », on écrit simplement « x ∈ [2 ; 5] ». Cela te servira pour résoudre des inéquations, étudier des fonctions, ou encadrer des valeurs.

Les notions essentielles

Ensembles de nombres

N : entiers naturels (0, 1, 2, 3, …)
Z : entiers relatifs (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …)
D : nombres décimaux (ceux qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,14 ; -0,5)
Q : nombres rationnels (quotients d'entiers, comme 1/3, -7/2)
R : nombres réels (tous les nombres, y compris les irrationnels comme √2 ou π)

On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Droite graduée

C'est une droite sur laquelle on a placé une origine (0) et une unité de longueur. Chaque point correspond à un nombre réel unique.

Intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Il peut être fermé (les bornes sont incluses) ou ouvert (les bornes sont exclues).

| Notation | Signification | Représentation sur la droite | |----------|---------------|-------------------------------| | [a ; b] | a ≤ x ≤ b | segment avec points pleins à a et b | | ]a ; b[ | a < x < b | segment avec points vides à a et b | | [a ; b[ | a ≤ x < b | point plein à a, vide à b | | ]a ; b] | a < x ≤ b | point vide à a, plein à b | | [a ; +∞[ | x ≥ a | demi-droite vers la droite, point plein à a | | ]a ; +∞[ | x > a | demi-droite vers la droite, point vide à a | | ]-∞ ; b] | x ≤ b | demi-droite vers la gauche, point plein à b | | ]-∞ ; b[ | x < b | demi-droite vers la gauche, point vide à b |

Attention : on utilise toujours des crochets ouverts du côté de l'infini (car l'infini n'est pas un nombre).

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est sa distance à 0. Elle est toujours positive ou nulle.

Si x ≥ 0, alors |x| = x.
Si x < 0, alors |x| = -x.

Propriété : |x| = d (avec d ≥ 0) signifie que x = d ou x = -d.

Encadrement

Encadrer un nombre, c'est donner deux nombres (un plus petit, un plus grand) entre lesquels il se trouve. Par exemple : 3,14 < π < 3,15. On peut aussi utiliser les intervalles : π ∈ ]3,14 ; 3,15[.

Méthode

1. Passer d'une inégalité à un intervalle

Si on a x ≥ 2, on écrit x ∈ [2 ; +∞[.
Si on a -3 < x ≤ 5, on écrit x ∈ ]-3 ; 5].

2. Passer d'un intervalle à une inégalité

Si x ∈ ]-∞ ; 4[, alors x < 4.
Si x ∈ [0 ; 2], alors 0 ≤ x ≤ 2.

3. Résoudre une équation avec valeur absolue

Pour résoudre |x - 3| = 2, on interprète : la distance entre x et 3 est 2. Donc x = 3 - 2 = 1 ou x = 3 + 2 = 5. On écrit S = {1 ; 5}.

4. Encadrer un nombre

Pour encadrer √2 au dixième, on calcule : 1,4² = 1,96 et 1,5² = 2,25, donc 1,4 < √2 < 1,5. On peut écrire √2 ∈ ]1,4 ; 1,5[.

Exemple corrigé

Énoncé : Donner l'intervalle correspondant à l'inégalité : -2 ≤ x < 3. Représenter sur une droite graduée.

Correction :

L'inégalité -2 ≤ x < 3 signifie que x est compris entre -2 (inclus) et 3 (exclu).
On écrit l'intervalle : [-2 ; 3[.
Sur la droite graduée, on place un point plein (inclus) à -2 et un point vide (exclu) à 3, puis on hachure le segment entre eux.

Énoncé : Résoudre |x + 1| = 3.

Correction :

On réécrit : |x - (-1)| = 3. La distance entre x et -1 est 3.
Donc x = -1 - 3 = -4 ou x = -1 + 3 = 2.
Solution : S = {-4 ; 2}.

Erreurs fréquentes

Confondre crochets ouverts et fermés : ne pas oublier que [a ; b] inclut a et b, alors que ]a ; b[ les exclut.
Oublier que l'infini prend toujours un crochet ouvert : on écrit ]-∞ ; 5] et non [-∞ ; 5].
Mal interpréter la valeur absolue : |x - 2| ≤ 3 ne signifie pas x - 2 ≤ 3, mais -3 ≤ x - 2 ≤ 3.
Inverser les bornes : dans un intervalle, la plus petite borne est à gauche. On n'écrit jamais [5 ; 2].

À retenir

Les ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Un intervalle est un ensemble de nombres entre deux bornes.
Crochet fermé = inclus, crochet ouvert = exclu.
Valeur absolue = distance à zéro.
Encadrer = donner un intervalle contenant le nombre.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser les intervalles et la valeur absolue. Bon courage !