Fiche de révision : Ensembles de nombres et inclusions
En bref
Les nombres réels (R) incluent tous les nombres sur la droite graduée. Ils se répartissent en ensembles emboîtés : N (naturels), Z (relatifs), D (décimaux), Q (rationnels). Les intervalles sont des sous-ensembles de R définis par des inégalités. La valeur absolue mesure la distance à zéro. L'encadrement donne une approximation d'un réel.
Points clés
- N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : chaque ensemble contient le précédent.
- Un nombre décimal D a une écriture décimale finie.
- Un nombre rationnel Q s'écrit comme fraction de deux entiers.
- Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes.
- La valeur absolue |x| est la distance de x à 0.
- Un encadrement de a est deux inégalités m ≤ a ≤ M.
- La droite graduée permet de visualiser tous les réels.
Définitions & formules
N
Entiers naturels : 0, 1, 2, 3, ...
Z
Entiers relatifs : ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
D
Nombres décimaux : s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule (ex: 3,14 ; -0,5).
Q
Nombres rationnels : s'écrivent comme quotient p/q avec p∈Z, q∈N* (ex: 1/3, -7/2).
R
Nombres réels : tous les nombres sur la droite graduée (inclut π, √2).
Intervalle [a;b]
Ensemble des x tels que a ≤ x ≤ b (fermé).
Intervalle ]a;b[
Ensemble des x tels que a < x < b (ouvert).
Valeur absolue |x|
|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Encadrement
Deux inégalités : m ≤ a ≤ M (encadrement de a par m et M).
Méthode flash
- 1Pour déterminer l'ensemble d'appartenance d'un nombre : simplifie son écriture (fraction, décimale).
- 2Pour écrire un intervalle à partir d'inégalités : repère les bornes et leur inclusion (≤ donne crochet fermé, < donne crochet ouvert).
- 3Pour calculer |x| : si x est positif ou nul, garde x ; si x est négatif, prends son opposé.
- 4Pour encadrer un réel : trouve deux nombres décimaux qui l'encadrent à la précision voulue.
Exemple corrigé
Énoncé
À quel(s) ensemble(s) appartient 3,14 ? Donne un encadrement à 0,1 près.
Résolution
3,14 ∈ D (décimal) donc aussi ∈ Q et ∈ R. Encadrement : 3,1 ≤ 3,14 ≤ 3,2.
Pièges à éviter
❌ Faux : √2 ∈ Q car il s'écrit √2/1.
✅ Correct : √2 n'est pas rationnel car il ne peut pas s'écrire comme fraction de deux entiers. √2 ∈ R mais ∉ Q.
❌ Faux : L'intervalle [2;5] contient 5,1.
✅ Correct : [2;5] contient les nombres de 2 à 5 inclus. 5,1 > 5 donc n'appartient pas.
❌ Faux : | -3 | = -3.
✅ Correct : | -3 | = 3 car la valeur absolue est toujours positive ou nulle.
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