Fiche de révision : Encadrement décimal et ordre de grandeur
En bref
Les nombres réels (R) incluent les entiers (N, Z), les décimaux (D) et les rationnels (Q). On les repère sur une droite graduée. Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes. La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro. Un encadrement donne un nombre entre deux valeurs, et l'ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche.
Points clés
- N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : les entiers naturels sont dans les entiers relatifs, qui sont dans les décimaux, qui sont dans les rationnels, qui sont dans les réels.
- Un intervalle [a ; b] contient tous les réels x tels que a ≤ x ≤ b.
- La valeur absolue |x| est la distance de x à 0 : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
- Un encadrement décimal de π à 10⁻² près est 3,14 ≤ π ≤ 3,15.
- L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche (ex: 0,0035 → 10⁻³).
- Sur la droite graduée, chaque point correspond à un unique nombre réel.
- Un nombre décimal a une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Définitions & formules
Ensemble N
Entiers naturels : 0, 1, 2, 3, …
Ensemble Z
Entiers relatifs : … -2, -1, 0, 1, 2, …
Ensemble D
Nombres décimaux : s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule (ex: 3,14).
Ensemble Q
Nombres rationnels : s'écrivent sous forme de fraction a/b avec a, b entiers, b ≠ 0.
Ensemble R
Nombres réels : tous les nombres (rationnels et irrationnels).
Intervalle [a ; b]
Ensemble des x tels que a ≤ x ≤ b.
Intervalle ]a ; b[
Ensemble des x tels que a < x < b.
Valeur absolue |x|
Distance de x à 0 : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Encadrement
Donner deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b.
Ordre de grandeur
Puissance de 10 la plus proche du nombre.
Méthode flash
- 1Pour encadrer un nombre à 10⁻ⁿ près : écrire le nombre avec n décimales, puis ajouter/retrancher 10⁻ⁿ.
- 2Pour trouver l'ordre de grandeur : écrire le nombre en notation scientifique (a × 10^p avec 1 ≤ a < 10), l'ordre est 10^p si a < 3,16, sinon 10^(p+1).
- 3Pour déterminer l'intervalle correspondant à une inégalité : repérer les bornes et le sens des crochets (inclus si ≤ ou ≥, exclus si < ou >).
- 4Pour calculer |x - a| : c'est la distance entre x et a sur la droite graduée.
Exemple corrigé
Énoncé
Donner un encadrement de √2 à 10⁻² près et son ordre de grandeur.
Résolution
√2 ≈ 1,4142… donc 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42. En notation scientifique : 1,4142… × 10⁰. Comme 1,414 < 3,16, l'ordre de grandeur est 10⁰ = 1.
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre intervalle ouvert et fermé : [2 ; 5] contient 2 et 5, ]2 ; 5[ ne les contient pas.
✅ Correct : Vérifier le sens des crochets : [ = inclus, ] = exclus.
❌ Faux : Croire que tous les nombres décimaux sont rationnels (vrai) mais que tous les rationnels sont décimaux (faux : 1/3 n'est pas décimal).
✅ Correct : 1/3 ∈ Q mais ∉ D.
❌ Faux : Écrire |x| = x pour tout x.
✅ Correct : |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
❌ Faux : Pour l'ordre de grandeur, prendre la puissance de 10 de l'écriture scientifique sans vérifier le coefficient.
✅ Correct : Si le coefficient est ≥ 3,16, on augmente la puissance de 1.
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