Fiche de révision : Droite numérique et représentation des réels
En bref
La droite numérique permet de représenter tous les nombres réels. Les ensembles N, Z, D, Q, R sont emboîtés. Les intervalles décrivent des parties de R. La valeur absolue mesure une distance. Un encadrement donne une approximation d'un réel.
Points clés
- Tout nombre réel correspond à un point unique sur la droite graduée.
- Les ensembles sont emboîtés : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
- Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes, incluses ou non.
- La valeur absolue |x| est la distance de x à 0 ; |a-b| est la distance entre a et b.
- Un encadrement de x par deux nombres a et b s'écrit a ≤ x ≤ b.
- L'intervalle [a ; b] contient tous les réels x tels que a ≤ x ≤ b.
- L'intervalle ]a ; b[ contient tous les réels x tels que a < x < b.
Définitions & formules
Nombre réel
Nombre pouvant être écrit avec une partie entière et une partie décimale infinie (ex: 3,14159...).
Droite graduée
Droite munie d'une origine (0), d'une unité de longueur et d'un sens positif.
Ensemble N
Entiers naturels : 0, 1, 2, 3, ...
Ensemble Z
Entiers relatifs : ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Ensemble D
Nombres décimaux : s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ensemble Q
Nombres rationnels : s'écrivent sous forme de fraction a/b avec a et b entiers, b ≠ 0.
Ensemble R
Tous les nombres réels (rationnels et irrationnels).
Intervalle
Sous-ensemble de R défini par une inégalité entre deux bornes.
Valeur absolue
|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0.
Encadrement
Écriture a ≤ x ≤ b (ou a < x < b) qui donne une fourchette pour x.
Méthode flash
- 1Pour placer un réel sur la droite : repérer son signe (gauche/droite de 0) et sa distance à 0.
- 2Pour écrire un intervalle : déterminer les bornes (incluses : crochets tournés vers l'intérieur ; exclues : vers l'extérieur).
- 3Pour calculer |a-b| : soustraire le plus petit du plus grand (ou utiliser la définition).
- 4Pour encadrer un nombre : trouver deux nombres qui l'encadrent, par exemple en arrondissant.
Exemple corrigé
Énoncé
Place sur la droite graduée le nombre -2,5. Donne l'intervalle des réels x tels que |x| ≤ 3.
Résolution
Le point -2,5 est à 2,5 unités à gauche de 0. |x| ≤ 3 signifie distance à 0 ≤ 3, donc x ∈ [-3 ; 3].
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre ]a;b[ et [a;b] : crochets vers l'extérieur signifie bornes exclues.
✅ Correct : ]a;b[ = {x | a < x < b} ; [a;b] = {x | a ≤ x ≤ b}.
❌ Faux : Croire que 0,333... (1/3) est décimal.
✅ Correct : 1/3 = 0,333... n'a pas un nombre fini de décimales, donc c'est un rationnel (Q) mais pas un décimal (D).
❌ Faux : Écrire |x| = x pour tout x.
✅ Correct : |x| = x si x ≥ 0, mais |x| = -x si x < 0 (ex: |-3| = 3).
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