Droite numérique et représentation des réels

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des nombres : entiers naturels (0, 1, 2…), entiers relatifs (…, -2, -1, 0, 1, 2…), décimaux (comme 3,14), fractions (comme 1/3). Mais tous ces nombres ne suffisent pas pour représenter toutes les mesures possibles. Par exemple, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 est √2, qui n’est ni un entier, ni un décimal, ni une fraction simple. L’ensemble de tous les nombres possibles (positifs, négatifs, avec ou sans virgule, rationnels ou non) s’appelle l’ensemble des nombres réels, noté ℝ.

Pour visualiser ces nombres, on utilise une droite numérique (ou droite graduée). Chaque point de cette droite correspond à un nombre réel unique. C’est comme une règle infinie, avec une origine (le 0) et une unité de longueur. Placer un nombre sur la droite, c’est lui donner une position précise.

Cette leçon va t’apprendre à représenter les réels sur une droite, à parler de leurs ensembles (ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ), à utiliser les intervalles pour décrire des portions de la droite, et à manipuler la valeur absolue pour mesurer des distances. Tout cela te servira en analyse, en géométrie et dans la vie courante (mesures, températures, etc.).

Les notions essentielles

1. Les ensembles de nombres

ℕ : entiers naturels {0, 1, 2, 3, …}
ℤ : entiers relatifs {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
𝔻 : nombres décimaux (ceux qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,14 ; -0,5 ; 2,0)
ℚ : nombres rationnels (ceux qui s’écrivent comme une fraction a/b avec a et b entiers, b ≠ 0 ; ex : 1/3, -7/2, 0,25)
ℝ : tous les nombres réels (rationnels + irrationnels comme √2, π)

Inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

2. Droite graduée

Une droite graduée a :

une origine (point 0)
un sens (généralement de gauche à droite pour les nombres croissants)
une unité de longueur (distance entre 0 et 1)

Chaque point est repéré par son abscisse, un nombre réel.

3. Intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. On utilise des crochets :

Fermé : [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b
Ouvert : ]a ; b[ signifie a < x < b
Mixtes : [a ; b[ ou ]a ; b]
Infinis : [a ; +∞[, ]-∞ ; b], etc.

4. Valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre réel x, notée |x|, est sa distance à 0 sur la droite numérique.

Si x ≥ 0, |x| = x
Si x < 0, |x| = -x

Propriétés :

|x| ≥ 0 toujours
|x| = 0 ⇔ x = 0
|a – b| est la distance entre a et b sur la droite.

5. Encadrement

Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres (souvent décimaux) qui le contiennent. Par exemple : 3,14 < π < 3,15. On peut aussi utiliser des intervalles.

Méthode

Pour placer un nombre sur une droite graduée :

Trace une droite, place l’origine 0 et l’unité 1.
Si le nombre est positif, place-le à droite de 0 ; s’il est négatif, à gauche.
Utilise les graduations : pour un décimal, estime sa position entre deux entiers.

Pour déterminer l’intervalle correspondant à une condition :

Lis l’inégalité : x ≥ 2 → [2 ; +∞[
x < 5 → ]-∞ ; 5[
-1 ≤ x ≤ 3 → [-1 ; 3]

Pour calculer une valeur absolue :

Si le nombre est positif ou nul, garde-le tel quel.
S’il est négatif, prends son opposé.

Pour encadrer un nombre :

Trouve deux nombres (souvent à un chiffre près) qui le contiennent.
Exemple : encadrer √2 à 0,1 près : 1,4 < √2 < 1,5.

Exemple corrigé

Énoncé :

Place sur une droite graduée les nombres : -2,5 ; 0 ; 1 ; 3,2.
Écris l’intervalle des nombres x tels que -1 ≤ x < 4.
Calcule | -7 | et | 3 – 8 |.
Donne un encadrement de π à 0,01 près.

Correction :

Trace une droite, place 0 et 1.
- -2,5 est à gauche de 0, entre -3 et -2.
- 0 est à l’origine.
- 1 est à droite de 0, à une unité.
- 3,2 est à droite de 3, un peu après.
L’intervalle est [-1 ; 4[ (fermé en -1, ouvert en 4).
| -7 | = 7 (car -7 < 0, on prend l’opposé). | 3 – 8 | = | -5 | = 5.
π ≈ 3,14159… Donc 3,14 < π < 3,15.

Erreurs fréquentes

Confondre ouvert et fermé : ne pas oublier que ]a ; b[ exclut a et b, alors que [a ; b] les inclut.
Mal placer les négatifs : -3 est à gauche de -2, car plus petit.
Valeur absolue d’une différence : |a – b| n’est pas toujours a – b ; c’est la distance, donc toujours positive.
Oublier les inclusions : un entier est aussi un réel, mais pas l’inverse.

À retenir

ℝ contient tous les nombres. ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
La droite graduée représente les réels : chaque point = un nombre.
Un intervalle est un ensemble de réels entre deux bornes.
|x| = distance à 0 ; |a – b| = distance entre a et b.
Encadrer, c’est donner deux valeurs qui entourent un nombre.

Pour s’entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde ! Tu y trouveras des questions pour placer des nombres, écrire des intervalles, calculer des valeurs absolues et encadrer des réels. Bon courage !