Encadrement décimal et ordre de grandeur

Ce qu'il faut comprendre

En Seconde, tu manipules des nombres réels, mais tu ne peux pas toujours les écrire exactement (par exemple √2 ou π). Pour les comparer, les situer sur une droite ou estimer un résultat, on utilise des encadrements décimaux : on donne deux nombres décimaux qui encadrent le nombre réel. L'ordre de grandeur permet d'avoir une idée rapide de la taille d'un nombre, souvent en utilisant les puissances de 10.

Ces notions sont utiles pour vérifier la vraisemblance d'un résultat, pour arrondir ou pour travailler avec des intervalles.

Les notions essentielles

Ensembles de nombres

N : entiers naturels (0, 1, 2, …)
Z : entiers relatifs (…, -2, -1, 0, 1, 2, …)
D : nombres décimaux (écriture décimale finie, comme 3,14 ou -0,5)
Q : nombres rationnels (quotient de deux entiers, comme 1/3)
R : nombres réels (tous les nombres, y compris √2, π)

On a : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Droite graduée et intervalles

La droite graduée représente tous les réels. Chaque point correspond à un nombre.
Un intervalle est un ensemble de réels compris entre deux bornes. Exemples :
- [a ; b] : intervalle fermé, a ≤ x ≤ b
- ]a ; b[ : intervalle ouvert, a < x < b
- [a ; b[ : a ≤ x < b
- ]a ; b] : a < x ≤ b
- [a ; +∞[ : x ≥ a
- ]-∞ ; b] : x ≤ b

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est sa distance à zéro sur la droite graduée.

|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0

Propriété : |x - a| est la distance entre x et a.

Encadrement décimal

Un encadrement décimal d'un nombre réel x est une double inégalité de la forme a ≤ x ≤ b, où a et b sont des nombres décimaux.

Encadrement à 10⁻ⁿ près : a et b ont n décimales et b - a = 10⁻ⁿ.
Exemple : √2 ≈ 1,4142… donc 1,414 ≤ √2 ≤ 1,415 (encadrement à 10⁻³ près).

Ordre de grandeur

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche.

Pour un nombre positif, on l'écrit en notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
L'ordre de grandeur est 10ⁿ si a < 5, sinon 10ⁿ⁺¹.
Exemple : 3,2 × 10⁴ → ordre 10⁴ ; 8,7 × 10⁴ → ordre 10⁵.

Méthode

Pour encadrer un nombre réel

Trouve une valeur approchée décimale du nombre (par exemple avec la calculatrice).
Choisis le nombre de décimales souhaité (précision).
Écris l'encadrement : borne inférieure ≤ nombre ≤ borne supérieure, avec un écart de 10⁻ⁿ.

Pour déterminer un ordre de grandeur

Écris le nombre en notation scientifique : a × 10ⁿ.
Si a < 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ ; sinon, c'est 10ⁿ⁺¹.

Pour utiliser la valeur absolue

|x - a| ≤ r signifie que x est à une distance ≤ r de a, donc x ∈ [a - r ; a + r].
|x - a| ≥ r signifie que x est à une distance ≥ r de a, donc x ∈ ]-∞ ; a - r] ∪ [a + r ; +∞[.

Exemple corrigé

Énoncé : Donne un encadrement de π à 10⁻² près, puis son ordre de grandeur.

Correction :

Valeur approchée : π ≈ 3,14159…
À 10⁻² près (2 décimales), on prend 3,14 et 3,15.
Encadrement : 3,14 ≤ π ≤ 3,15.
Notation scientifique : π ≈ 3,14 × 10⁰. Comme 3,14 < 5, l'ordre de grandeur est 10⁰ = 1.

Vérification : L'écart entre les bornes est 0,01 = 10⁻², c'est correct.

Erreurs fréquentes

Confondre encadrement et arrondi : un encadrement donne deux bornes, pas une seule valeur.
Oublier que les bornes doivent être décimales : 1/3 n'est pas décimal, donc on ne peut pas écrire 0,333 ≤ 1/3 ≤ 0,334 (0,333 et 0,334 sont décimaux, c'est bon).
Ordre de grandeur mal déterminé : pour 4,9 × 10³, a=4,9 < 5 donc ordre 10³ ; pour 5,1 × 10³, a=5,1 ≥ 5 donc ordre 10⁴.
Intervalles ouverts/fermés : ne pas confondre [a ; b] et ]a ; b[.
Valeur absolue : |x| n'est pas toujours positif ? Si, toujours ≥ 0.

À retenir

Les ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Un intervalle est un ensemble de réels entre deux bornes.
La valeur absolue mesure une distance.
Un encadrement décimal donne deux bornes décimales avec une précision donnée.
L'ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche.

Pour s'entraîner

Tu peux maintenant t'exercer avec les quiz et fiches d'AlloSeconde pour maîtriser les encadrements, les ordres de grandeur et les intervalles. Bon courage !