Ensembles de nombres et inclusions

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré différents types de nombres : les entiers naturels (0, 1, 2...), les entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2...), les nombres décimaux (comme 3,14 ou -0,5), les fractions (comme 2/3) et les nombres comme √2 ou π. Mais comment s'organisent-ils ? Certains sont inclus dans d'autres : par exemple, tout entier naturel est aussi un entier relatif. Cette leçon te permet de comprendre les relations entre ces ensembles, de représenter les nombres sur une droite, de décrire des portions de cette droite avec des intervalles, et de mesurer des distances avec la valeur absolue. Ces outils te serviront pour résoudre des équations, des inéquations et pour étudier des fonctions.

Les notions essentielles

Ensembles de nombres

N : ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
Z : ensemble des entiers relatifs. Z = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}.
D : ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Exemples : 3,14 ; -0,5 ; 2 (car 2 = 2,0).
Q : ensemble des nombres rationnels. Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme d'une fraction a/b avec a et b entiers (b ≠ 0). Exemples : 2/3 ; -5/2 ; 0,333... (car 1/3).
R : ensemble des nombres réels. Il contient tous les nombres précédents, ainsi que les nombres irrationnels (comme √2, π, e).

Inclusions

Les ensembles sont emboîtés :

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Cela signifie que tout élément de N est aussi dans Z, tout élément de Z est dans D, etc. Attention : certains nombres décimaux ne sont pas entiers (ex : 3,14), certains rationnels ne sont pas décimaux (ex : 1/3), et certains réels ne sont pas rationnels (ex : √2).

Droite graduée

La droite numérique (ou droite réelle) est une droite sur laquelle on a placé un point origine (0), une unité de longueur et un sens positif. Chaque point correspond à un nombre réel unique (son abscisse).

Intervalles

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Il peut être :

Fermé : [a ; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Ouvert : ]a ; b[ = {x ∈ R | a < x < b}
Semi-ouvert : [a ; b[ ou ]a ; b]
Non borné : [a ; +∞[, ]-∞ ; b], etc.

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance entre x et 0 sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.

Si x ≥ 0, |x| = x.
Si x < 0, |x| = -x.

Propriété : |x| = | -x |.

Encadrement

Encadrer un nombre réel, c'est trouver deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b. On peut aussi utiliser des inégalités strictes.

Méthode

1. Déterminer l'ensemble d'appartenance d'un nombre

Si le nombre s'écrit sans virgule et sans fraction, c'est un entier relatif (Z). S'il est positif ou nul, c'est aussi un naturel (N).
S'il a une écriture décimale finie (ex : 3,14), c'est un décimal (D).
S'il s'écrit sous forme de fraction (ex : 2/3), c'est un rationnel (Q).
Sinon, c'est un réel (R).

2. Représenter un intervalle sur la droite

Trace une droite graduée.
Place les bornes.
Si la borne est incluse, colorie le point ; si elle est exclue, laisse un cercle vide.
Hachure la partie correspondante.

3. Calculer une valeur absolue

Si le nombre est positif, garde-le.
Si le nombre est négatif, prends son opposé.

4. Encadrer un nombre

Trouve deux nombres, l'un plus petit, l'autre plus grand.
Utilise des inégalités.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit x = -3,5.

À quels ensembles appartient x ?
Représenter sur la droite graduée l'intervalle I = [-4 ; -2].
Calculer |x|.
Donner un encadrement de x à 0,1 près.

Correction :

x = -3,5. C'est un nombre décimal (écriture finie), donc x ∈ D. Il est aussi rationnel (car décimal) et réel. Il n'est pas entier, donc pas dans Z ni N. Réponse : x ∈ D ⊂ Q ⊂ R.
Sur une droite graduée, on place -4 et -2. On colorie les points -4 et -2 (intervalles fermés). On hachure entre eux.
|x| = |-3,5| = 3,5 (car -3,5 < 0, on prend l'opposé).
Encadrement à 0,1 près : -3,6 ≤ x ≤ -3,4 (car -3,5 est entre -3,6 et -3,4).

Erreurs fréquentes

Confondre D et Q : Tous les décimaux sont rationnels, mais l'inverse est faux (ex : 1/3 n'est pas décimal).
Oublier que N ⊂ Z : Un entier naturel est aussi un entier relatif.
Mal interpréter les crochets : [a ; b] inclut a et b, ]a ; b[ les exclut.
Valeur absolue d'un nombre négatif : | -5 | = 5, pas -5.
Encadrement trop large : Pour x = 3,14, un encadrement à 0,1 près est 3,1 ≤ x ≤ 3,2, pas 0 ≤ x ≤ 10.

À retenir

Les ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Un intervalle est un ensemble de réels entre deux bornes.
La valeur absolue mesure une distance : toujours positive.
Encadrer, c'est donner un intervalle contenant le nombre.

Pour s'entraîner

Pour vérifier que tu as bien compris, rends-toi sur AlloSeconde : tu y trouveras des exercices interactifs, des quiz et des fiches de révision sur les ensembles de nombres et les intervalles. Bon courage !