Fiche de révision : Somme de vecteurs avec la relation de Chasles
En bref
La somme de vecteurs se fait graphiquement ou par la relation de Chasles : AB + BC = AC. Les coordonnées d'un vecteur se calculent à partir de deux points. Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des extrémités. La distance entre deux points se calcule avec la formule √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²). Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. L'alignement de trois points se vérifie par la colinéarité de deux vecteurs.
Points clés
- Relation de Chasles : AB + BC = AC, quel que soit le point B.
- Coordonnées d'un vecteur AB : (x_B - x_A ; y_B - y_A).
- Milieu I de [AB] : I((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2).
- Distance AB = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²).
- Colinéarité : u et v sont colinéaires s'il existe k tel que u = k v, ou si xy' - x'y = 0.
- Alignement : points A, B, C alignés ⇔ vecteurs AB et AC colinéaires.
Définitions & formules
Vecteur
Objet mathématique défini par une direction, un sens et une norme. Noté AB.
Somme de vecteurs
u + v est le vecteur obtenu en mettant l'origine de v à l'extrémité de u.
Relation de Chasles
AB + BC = AC.
Coordonnées d'un vecteur
AB = (x_B - x_A ; y_B - y_A).
Milieu
I milieu de [AB] : I((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2).
Distance
AB = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²).
Colinéarité
u(x;y) et v(x';y') colinéaires ⇔ x y' - x' y = 0.
Méthode flash
- 1Pour additionner deux vecteurs : place l'origine du second à l'extrémité du premier, la somme va de l'origine du premier à l'extrémité du second.
- 2Pour utiliser Chasles : repère un point intermédiaire commun (ex: AB + BC = AC).
- 3Pour vérifier un alignement : calcule les coordonnées de AB et AC, puis vérifie si xy' - x'y = 0.
Exemple corrigé
Énoncé
Soit A(1;2), B(3;5), C(6;1). Calcule AB + BC et vérifie si A, B, C sont alignés.
Résolution
AB = (2;3), BC = (3;-4). AB+BC = (5;-1). AC = (5;-1) donc AB+BC = AC (Chasles). Colinéarité : AB(2;3) et AC(5;-1) → 2×(-1)-3×5 = -2-15=-17 ≠ 0, donc non alignés.
Pièges à éviter
❌ Faux : AB + BC = BA + AC
✅ Correct : AB + BC = AC (Chasles). BA + AC = BC.
❌ Faux : Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((x_B-x_A)/2 ; (y_B-y_A)/2)
✅ Correct : I((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2).
❌ Faux : Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont égales.
✅ Correct : Ils sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles (ou si xy' - x'y = 0).
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