Somme de vecteurs avec la relation de Chasles

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà vu les vecteurs en classe : ce sont des objets mathématiques qui représentent un déplacement. Par exemple, le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) te dit : « va de A vers B ». Mais parfois, on a besoin d'enchaîner plusieurs déplacements. Par exemple, si tu vas de A à B, puis de B à C, quel est le déplacement total ? C'est là qu'intervient la somme de vecteurs et la relation de Chasles. Cette relation te permet d'ajouter des vecteurs simplement, en les mettant bout à bout. Elle est très utile pour simplifier des calculs, montrer que des points sont alignés, ou encore calculer des coordonnées.

Les notions essentielles

Définition : somme de deux vecteurs

Soient deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). Leur somme \( \vec{u} + \vec{v} \) est le vecteur obtenu en mettant \( \vec{v} \) à la suite de \( \vec{u} \).

Relation de Chasles

Pour trois points A, B, C du plan :

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \)

C'est la relation de Chasles. Elle dit que le déplacement de A à B, puis de B à C, équivaut au déplacement direct de A à C.

Propriétés de la somme

Commutativité : \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \) (l'ordre n'a pas d'importance)
Associativité : \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \) (on peut grouper comme on veut)
Élément neutre : \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \) (le vecteur nul ne change rien)
Opposé : \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)

Coordonnées d'une somme

Si \( \vec{u} \) a pour coordonnées \( (x; y) \) et \( \vec{v} \) a pour coordonnées \( (x'; y') \), alors :

\( \vec{u} + \vec{v} \) a pour coordonnées \( (x + x'; y + y') \).

Lien avec le milieu

Soient A et B deux points. Le milieu I de [AB] vérifie :

\( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \) et \( \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB} \).

En coordonnées : si A \( (x_A; y_A) \) et B \( (x_B; y_B) \), alors I \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right) \).

Lien avec la distance

La distance AB est la norme du vecteur \( \overrightarrow{AB} \). Si \( \overrightarrow{AB} \) a pour coordonnées \( (x; y) \), alors :

\( AB = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Colinéarité et alignement

Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : \( \vec{v} = k \vec{u} \) (avec k un nombre réel).

Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires.

Méthode

Pour additionner deux vecteurs graphiquement

Place le premier vecteur \( \vec{u} \) à partir d'un point.
À l'extrémité de \( \vec{u} \), place l'origine de \( \vec{v} \).
Le vecteur somme va de l'origine de \( \vec{u} \) à l'extrémité de \( \vec{v} \).

Pour additionner deux vecteurs avec leurs coordonnées

Ajoute les abscisses : \( x_{somme} = x_1 + x_2 \).
Ajoute les ordonnées : \( y_{somme} = y_1 + y_2 \).
Le vecteur somme a pour coordonnées \( (x_{somme}; y_{somme}) \).

Pour utiliser la relation de Chasles

Repère des points communs : si tu as \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \), tu peux directement écrire \( \overrightarrow{AC} \).
Si les points ne se suivent pas, tu peux introduire un point intermédiaire. Par exemple, \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \) peut se réécrire en introduisant un point E : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \) ... mais attention, ce n'est pas toujours simple. Le mieux est de chercher des points qui se suivent.

Pour montrer que des points sont alignés

Calcule les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).
Vérifie s'ils sont colinéaires : existe-t-il un réel k tel que \( \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} \) ?
Si oui, alors A, B, C sont alignés.

Exemple corrigé

Énoncé : Soient A(1; 2), B(4; 6) et C(7; 10).

Calcule les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \).
Calcule \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \) et vérifie la relation de Chasles.
Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Correction :

\( \overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2) = (3; 4) \). \( \overrightarrow{BC} = (7-4; 10-6) = (3; 4) \).
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3+3; 4+4) = (6; 8) \). D'après la relation de Chasles, \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \). Vérifions : \( \overrightarrow{AC} = (7-1; 10-2) = (6; 8) \). C'est bien égal.
On a \( \overrightarrow{AB} = (3; 4) \) et \( \overrightarrow{AC} = (6; 8) \). On remarque que \( \overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{AB} \). Donc les vecteurs sont colinéaires, et les points A, B, C sont alignés.

Erreurs fréquentes

Oublier la relation de Chasles : quand tu additionnes des vecteurs, vérifie toujours si tu peux simplifier avec des points communs.
Confondre addition de vecteurs et addition de points : on n'additionne pas des points, mais des vecteurs.
Erreur de signe dans les coordonnées : \( \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) \), pas l'inverse.
Oublier que la colinéarité nécessite un même facteur pour les deux coordonnées : si \( \vec{u} = (2; 3) \) et \( \vec{v} = (4; 6) \), alors \( \vec{v} = 2 \vec{u} \). Mais si \( \vec{v} = (4; 5) \), ils ne sont pas colinéaires.
Croire que la somme de deux vecteurs donne un nombre : non, c'est un vecteur.

À retenir

La relation de Chasles : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \).
Pour additionner des vecteurs, on additionne leurs coordonnées.
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right) \).
La distance AB = \( \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \).
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.
Pour montrer que trois points sont alignés, on montre que deux vecteurs sont colinéaires.

Pour s'entraîner

Tu veux vérifier que tu as bien compris ? Rends-toi sur AlloSeconde pour faire des exercices interactifs et des quiz sur la somme de vecteurs et la relation de Chasles. Tu trouveras aussi des fiches de révision et des vidéos pour t'aider. Bon courage !