Fiche de révision : Vecteur : direction, sens et norme
En bref
Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme. On le repère par ses coordonnées (x;y). La colinéarité de deux vecteurs permet de tester le parallélisme ou l'alignement de points. Les formules de milieu et de distance sont essentielles.
Points clés
- Un vecteur AB a une direction (droite AB), un sens (de A vers B) et une norme (longueur AB).
- Coordonnées d'un vecteur AB : (xB - xA ; yB - yA).
- Coordonnées du milieu I de [AB] : ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
- Distance AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
- Deux vecteurs u et v sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles : x_u*y_v - y_u*x_v = 0.
- Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Définitions & formules
Vecteur
Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme.
Coordonnées d'un vecteur AB
(xB - xA ; yB - yA).
Milieu I de [AB]
I = ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
Distance AB
AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
Colinéarité de u(x;y) et v(x';y')
u et v colinéaires ⇔ x*y' - y*x' = 0.
Alignement de A, B, C
A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires.
Méthode flash
- 1Calculer les coordonnées des vecteurs concernés.
- 2Pour la colinéarité, appliquer le test : x*y' - y*x' = 0.
- 3Pour le milieu, faire la moyenne des abscisses et des ordonnées.
- 4Pour la distance, utiliser la formule avec la racine carrée.
Exemple corrigé
Énoncé
Soit A(1;2), B(3;5), C(5;8). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
Résolution
AB = (2;3), AC = (4;6). Test colinéarité : 2*6 - 3*4 = 12 - 12 = 0. Donc AB et AC colinéaires, A, B, C alignés.
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre sens et direction : deux vecteurs opposés ont même direction mais sens contraire.
✅ Correct : La direction est la droite, le sens est l'orientation sur cette droite.
❌ Faux : Oublier la racine carrée dans la distance.
✅ Correct : La distance est sqrt((Δx)^2 + (Δy)^2), pas (Δx)^2 + (Δy)^2.
❌ Faux : Croire que AB = BA.
✅ Correct : AB et BA sont opposés : AB = -BA.
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