Vecteur : direction, sens et norme

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu veux décrire un déplacement. Par exemple : « Va 3 pas vers la droite, puis 2 pas vers le haut ». Ce déplacement a une direction (oblique), un sens (vers le haut-droite) et une longueur (la distance parcourue). En maths, on appelle ça un vecteur. Les vecteurs servent à modéliser des translations, des forces en physique, ou à repérer des points dans le plan.

Les notions essentielles

Définition d'un vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

• une direction : la droite qui porte le vecteur (horizontale, verticale, oblique…)
• un sens : le sens de parcours sur cette droite (de gauche à droite, de bas en haut…)
• une norme (ou longueur) : la distance entre son point de départ et son point d'arrivée.

On note un vecteur $\vec{AB}$ où A est l'origine et B l'extrémité. Le vecteur $\vec{AB}$ représente le déplacement de A vers B.

Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. Par exemple, dans un parallélogramme ABCD, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Vecteur nul

Le vecteur nul $\vec{0}$ a une norme nulle. Il n'a ni direction ni sens. On le note $\vec{AA}$.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, un vecteur $\vec{u}$ peut être représenté par ses coordonnées $(x; y)$. Si $\vec{u} = \vec{AB}$ avec $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors : $$\vec{u} \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \end{pmatrix}$$

Norme d'un vecteur

La norme du vecteur $\vec{u}(x; y)$ est : $$||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ C'est la distance entre l'origine et l'extrémité.

Milieu d'un segment

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : $$M \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$$

Distance entre deux points

La distance AB est : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Colinéarité et alignement

Deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$. En coordonnées, cela équivaut à : $$x y' - y x' = 0$$

Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Méthode

Calculer les coordonnées d'un vecteur

1. Identifie les coordonnées de l'origine et de l'extrémité.
2. Soustrais les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.
3. Écris le vecteur sous forme $(x; y)$.

Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires

1. Calcule le déterminant : $x y' - y x'$.
2. Si le résultat est 0, les vecteurs sont colinéaires (donc parallèles).
3. Sinon, ils ne le sont pas.

Montrer que trois points sont alignés

1. Calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Vérifie s'ils sont colinéaires (déterminant nul).
3. Si oui, les points sont alignés.

Calculer la norme d'un vecteur

1. Élève chaque coordonnée au carré.
2. Additionne les carrés.
3. Prends la racine carrée.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit A(2; 1), B(5; 5), C(8; 9).

1. Calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Calcule la norme de $\vec{AB}$.
3. Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Correction :

1. $\vec{AB} \begin{pmatrix} 5-2 \ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix}$ $\vec{AC} \begin{pmatrix} 8-2 \ 9-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 8 \end{pmatrix}$

2. $||\vec{AB}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

3. Déterminant : $3 \times 8 - 4 \times 6 = 24 - 24 = 0$. Donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, et comme ils partagent le point A, les points A, B, C sont alignés.

Erreurs fréquentes

• Confondre direction et sens : la direction est la droite (horizontale, verticale…), le sens est le parcours (droite/gauche, haut/bas).
• Oublier de soustraire dans le bon ordre : pour $\vec{AB}$, on fait B - A, pas l'inverse.
• Calculer la norme sans racine carrée : la norme est une distance, donc toujours positive et avec racine.
• Croire que deux vecteurs colinéaires sont forcément égaux : ils peuvent être parallèles mais de longueurs différentes.
• Pour l'alignement, oublier de vérifier que les vecteurs partagent un point commun : deux vecteurs colinéaires peuvent être parallèles sans que les points soient alignés (exemple : côtés opposés d'un parallélogramme).

À retenir

• Un vecteur a une direction, un sens et une norme.
• Coordonnées : $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
• Norme : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Colinéarité : $x y' - y x' = 0$.
• Alignement : trois points sont alignés si deux vecteurs issus du même point sont colinéaires.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu peux aussi consulter la fiche de révision pour mémoriser les formules clés.