Fiche de révision : Prouver le parallélisme de deux droites
En bref
Pour prouver que deux droites sont parallèles, on utilise la colinéarité de leurs vecteurs directeurs. Si deux vecteurs directeurs sont colinéaires, alors les droites sont parallèles. On peut aussi utiliser les coordonnées pour vérifier la colinéarité.
Points clés
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si xy' - x'y = 0.
- Un vecteur directeur d'une droite passant par A et B est AB.
- Pour prouver le parallélisme, on calcule les coordonnées de deux vecteurs directeurs, puis on vérifie la condition de colinéarité.
- Si les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues).
- La colinéarité se teste avec le déterminant : det(u,v) = xy' - x'y.
Définitions & formules
Vecteur directeur
Vecteur non nul qui donne la direction d'une droite.
Colinéarité
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u.
Condition de colinéarité (coordonnées)
u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires ⇔ xy' - x'y = 0.
Méthode flash
- 1Identifier deux vecteurs directeurs des droites (ex: AB et CD).
- 2Calculer leurs coordonnées : AB(xB-xA; yB-yA), CD(xD-xC; yD-yC).
- 3Calculer le déterminant : det = xAB*yCD - yAB*xCD.
- 4Si det = 0, les droites sont parallèles ; sinon, elles ne le sont pas.
Exemple corrigé
Énoncé
Soit A(1;2), B(3;5), C(0;1), D(2;4). Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Résolution
AB(2;3), CD(2;3). det = 2×3 - 3×2 = 0. Donc (AB) // (CD).
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier de soustraire dans le bon ordre pour les coordonnées.
✅ Correct : Toujours faire (arrivée - origine) : AB = (xB-xA; yB-yA).
❌ Faux : Confondre parallélisme et orthogonalité.
✅ Correct : Le parallélisme utilise la colinéarité (det=0), pas le produit scalaire.
❌ Faux : Croire que deux droites parallèles sont forcément distinctes.
✅ Correct : Elles peuvent être confondues (même droite).
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