Prouver le parallélisme de deux droites

Ce qu'il faut comprendre

En géométrie, deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge à l'infini. Dans le plan, cela signifie qu'elles ont la même direction. Grâce aux vecteurs, on peut prouver ce parallélisme sans avoir à tracer les droites. C'est très utile pour résoudre des problèmes de figures, démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, ou encore vérifier un alignement.

Les notions essentielles

Vecteurs

Un vecteur est un objet mathématique qui a une direction, un sens et une longueur. On le note souvent $\vec{u}$ ou $\overrightarrow{AB}$. Ses coordonnées dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ sont $(x; y)$ si $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$.

Colinéarité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$. Cela signifie qu'ils ont la même direction (ou l'une est nulle).

Propriété fondamentale : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Coordonnées

Dans un repère, un vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Condition de colinéarité avec coordonnées

Soient $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$. Ils sont colinéaires si et seulement si $x y' - y x' = 0$. Cette expression s'appelle le déterminant (ou le produit en croix).

Alignement

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Milieu

Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.

Distance

La distance entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ est $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Méthode

Pour prouver que deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles :

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
2. Vérifier la colinéarité : calculer le déterminant $x_{AB} \times y_{CD} - y_{AB} \times x_{CD}$.
   • Si le résultat est 0, les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
   • Sinon, elles ne sont pas parallèles.

Astuce : On peut aussi utiliser un coefficient de proportionnalité : si $\overrightarrow{CD} = k \overrightarrow{AB}$, alors les droites sont parallèles.

Exemple corrigé

Énoncé : Dans un repère, on donne $A(1; 2)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 0)$, $D(1; 3)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?

Correction :

1. Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(3-1; 5-2) = (2; 3)$.
2. Coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ : $(1-(-1); 3-0) = (2; 3)$.
3. Déterminant : $2 \times 3 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0$.
4. Les vecteurs sont colinéaires, donc $(AB) \parallel (CD)$.

Vérification : On remarque que $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$, donc les droites sont même parallèles et de même longueur.

Erreurs fréquentes

• Confondre parallélisme et colinéarité : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Attention, si un vecteur est nul (points confondus), la colinéarité est vraie mais les droites ne sont pas définies.
• Oublier de soustraire dans le bon ordre : $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$, pas l'inverse.
• Calculer le déterminant à l'envers : $x y' - y x'$, ne pas inverser.
• Croire que des vecteurs égaux donnent des droites parallèles : Oui, mais c'est un cas particulier de colinéarité.
• Utiliser la distance pour prouver le parallélisme : La distance ne sert pas directement, sauf si on montre que des vecteurs sont multiples.

À retenir

• Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Colinéarité : $\vec{v} = k \vec{u}$ ou déterminant nul.
• Méthode : calculer les coordonnées des vecteurs, puis le déterminant.
• Le parallélisme permet de démontrer des propriétés de figures (parallélogramme, trapèze, etc.).

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser la colinéarité et le parallélisme. Bon courage !