Fiche de révision : Prouver l'alignement de trois points
En bref
Pour prouver que trois points A, B, C sont alignés, on peut montrer que les vecteurs AB et AC sont colinéaires (leurs coordonnées sont proportionnelles), ou que les points A, B, C vérifient une même équation de droite, ou encore que le point B est le milieu de AC (cas particulier).
Points clés
- Trois points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite.
- La colinéarité de deux vecteurs signifie qu'ils ont la même direction.
- Pour vérifier la colinéarité, on compare les coordonnées : (x1, y1) et (x2, y2) sont colinéaires si x1*y2 - y1*x2 = 0.
- On peut aussi montrer que les points vérifient une même équation de droite.
- Si B est le milieu de [AC], alors A, B, C sont alignés (cas particulier).
- On peut utiliser les distances : si AB + BC = AC, alors A, B, C sont alignés (avec B entre A et C).
Définitions & formules
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si x*y' - y*x' = 0.
Milieu
Le milieu M de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
Distance
AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
Méthode flash
- 1Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC (ou AB et BC).
- 2Vérifier la colinéarité : calculer le déterminant xAB*yAC - yAB*xAC.
- 3Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
Exemple corrigé
Énoncé
A(1;2), B(3;4), C(5;6). Montrer que A, B, C sont alignés.
Résolution
AB = (2;2), AC = (4;4). Déterminant = 2*4 - 2*4 = 0. Donc AB et AC colinéaires, A, B, C alignés.
Pièges à éviter
❌ Faux : Si AB = k*AC, alors A, B, C sont alignés, mais il faut que k soit un nombre réel quelconque.
✅ Correct : Il faut que k soit un réel, mais aussi que les vecteurs soient non nuls. Si AB = 0 ou AC = 0, le point est confondu.
❌ Faux : On peut utiliser la distance : si AB + BC = AC, alors alignement, mais cela ne fonctionne que si B est entre A et C.
✅ Correct : Cette méthode suppose que B est entre A et C. Sinon, il faut vérifier l'égalité des distances avec un ordre différent.
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