Fiche de révision : Égalité de deux vecteurs et translation
En bref
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. La translation transforme un point M en M' tel que vecteur MM' = vecteur u donné. Dans un repère, on calcule coordonnées, milieu, distance, colinéarité et alignement.
Points clés
- Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.
- La translation de vecteur u associe à tout point M le point M' tel que MM' = u.
- Dans un repère, les coordonnées d'un vecteur AB sont (xB - xA ; yB - yA).
- Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
- La distance AB vaut sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
- Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si xy' - yx' = 0.
- Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Définitions & formules
Vecteur AB
représentant du déplacement de A vers B ; coordonnées (xB-xA ; yB-yA).
Égalité de vecteurs
u = v ⇔ même direction, même sens, même norme.
Translation de vecteur u
Transformation qui à tout point M associe M' tel que MM' = u.
Coordonnées d'un vecteur
u(x;y) avec x = xB-xA, y = yB-yA.
Milieu
I milieu de [AB] : I((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
Distance
AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
Colinéarité
u(x;y) et v(x';y') colinéaires ⇔ xy' - yx' = 0.
Alignement
A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires.
Méthode flash
- 1Pour montrer que deux vecteurs sont égaux : vérifier que leurs coordonnées sont identiques (même x, même y).
- 2Pour calculer le milieu : faire la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
- 3Pour calculer une distance : appliquer la formule sqrt((Δx)^2 + (Δy)^2).
- 4Pour tester la colinéarité : calculer le déterminant xy' - yx' ; s'il vaut 0, les vecteurs sont colinéaires.
Exemple corrigé
Énoncé
Soient A(1;2), B(3;5), C(4;1), D(6;4). Les vecteurs AB et CD sont-ils égaux ?
Résolution
AB = (3-1;5-2) = (2;3). CD = (6-4;4-1) = (2;3). Les coordonnées sont identiques, donc AB = CD.
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre vecteur AB et vecteur BA : AB = -BA.
✅ Correct : AB a pour coordonnées (xB-xA ; yB-yA) ; BA a (xA-xB ; yA-yB).
❌ Faux : Croire que deux vecteurs colinéaires sont forcément égaux.
✅ Correct : Colinéaires signifie parallèles, mais ils peuvent avoir des normes différentes.
❌ Faux : Oublier la racine carrée dans la distance.
✅ Correct : La distance est sqrt((Δx)^2+(Δy)^2), pas (Δx)^2+(Δy)^2.
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