Fiche de révision : Coordonnées d'un vecteur dans un repère
En bref
Dans un repère, un vecteur est défini par ses coordonnées (x ; y). On calcule les coordonnées d'un vecteur AB à partir de celles de A et B. Ces coordonnées servent à déterminer le milieu d'un segment, la distance entre deux points, et à tester la colinéarité de deux vecteurs (donc l'alignement de points).
Points clés
- Les coordonnées d'un vecteur AB sont (xB - xA ; yB - yA).
- Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).
- La distance AB vaut sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2).
- Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si x*y' - y*x' = 0.
- Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
- Un vecteur nul a pour coordonnées (0 ; 0).
- Deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales.
Définitions & formules
Coordonnées d'un vecteur AB
AB(xB - xA ; yB - yA)
Milieu I de [AB]
I((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2)
Distance AB
AB = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2)
Colinéarité de u(x;y) et v(x';y')
x*y' - y*x' = 0
Vecteur nul
Vecteur de coordonnées (0 ; 0)
Méthode flash
- 1Pour calculer les coordonnées d'un vecteur AB : soustrais les coordonnées de A à celles de B.
- 2Pour tester la colinéarité de deux vecteurs : calcule le déterminant x*y' - y*x'. S'il vaut 0, ils sont colinéaires.
- 3Pour vérifier l'alignement de trois points : calcule les coordonnées de AB et AC, puis teste leur colinéarité.
Exemple corrigé
Énoncé
Soit A(1 ; 2), B(3 ; 5), C(5 ; 8). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
Résolution
AB = (3-1 ; 5-2) = (2 ; 3). AC = (5-1 ; 8-2) = (4 ; 6). Déterminant : 2*6 - 3*4 = 12 - 12 = 0. Donc AB et AC sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés.
Pièges à éviter
❌ Faux : Pour les coordonnées de AB, on fait A - B.
✅ Correct : On fait B - A : (xB - xA ; yB - yA).
❌ Faux : Deux vecteurs sont colinéaires si x/x' = y/y'.
✅ Correct : On utilise le déterminant x*y' - y*x' = 0, car la division par zéro est interdite.
❌ Faux : La distance AB est (xB - xA)^2 + (yB - yA)^2.
✅ Correct : Il faut prendre la racine carrée : sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2).
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