Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Ce qu'il faut comprendre

Les vecteurs sont des outils puissants pour se déplacer dans le plan. Imagine que tu veux décrire le trajet d'un point A à un point B : le vecteur AB te donne la direction, le sens et la distance. Mais comment le représenter avec des nombres ? Grâce à un repère ! Dans un repère, chaque vecteur a des coordonnées qui permettent de le manipuler facilement : addition, multiplication par un nombre, calcul de longueur, vérification d'alignement... C'est ce que tu vas apprendre ici.

Les notions essentielles

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O; I, J), soit deux points A(xA; yA) et B(xB; yB). Le vecteur AB a pour coordonnées :

AB (xB - xA ; yB - yA)

On note souvent AB (x; y) ou \( \vec{AB} (x; y) ).

Exemple : A(2; 3) et B(5; 7) → AB (5-2; 7-3) = (3; 4).

Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées.

Coordonnées du milieu

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

M( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )

Distance entre deux points

La distance AB (longueur du segment) se calcule par :

AB = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2)

C'est aussi la norme du vecteur AB.

Colinéarité et alignement

Deux vecteurs u(x; y) et v(x'; y') sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que v = k × u. Cela revient à dire que leurs coordonnées sont proportionnelles :

x' × y - y' × x = 0

(le déterminant est nul).

Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Méthode

Pour calculer les coordonnées d'un vecteur

1. Identifie les coordonnées des points.
2. Soustraye les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité : (xB - xA; yB - yA).

Pour calculer le milieu

1. Additionne les coordonnées des deux points.
2. Divise chaque somme par 2.

Pour calculer une distance

1. Calcule la différence des x et des y.
2. Élève chaque différence au carré.
3. Additionne les carrés.
4. Prends la racine carrée.

Pour vérifier la colinéarité

1. Calcule le déterminant : x × y' - y × x'.
2. Si le résultat est 0, les vecteurs sont colinéaires.

Pour vérifier l'alignement

1. Choisis un point comme origine (par exemple A).
2. Calcule les vecteurs AB et AC.
3. Vérifie s'ils sont colinéaires.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit A(1; 2), B(4; 6), C(7; 10).

1. Calculer les coordonnées de AB et AC.
2. Calculer la distance AB.
3. Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Correction :

1. AB (4-1; 6-2) = (3; 4). AC (7-1; 10-2) = (6; 8).

2. AB = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

3. Vérifions la colinéarité : déterminant = 3×8 - 4×6 = 24 - 24 = 0. Donc AB et AC sont colinéaires, les points A, B, C sont alignés.

Erreurs fréquentes

• Confondre l'ordre des points : AB n'est pas BA. Les coordonnées de AB sont (xB - xA; yB - yA).
• Oublier les parenthèses : Dans la formule du milieu, n'oublie pas de diviser chaque coordonnée par 2.
• Distance : Ne pas oublier la racine carrée. La distance est toujours positive.
• Colinéarité : Ne pas confondre avec l'égalité. Deux vecteurs colinéaires peuvent avoir des longueurs différentes.
• Alignement : Vérifie toujours avec deux vecteurs issus du même point.

À retenir

• Coordonnées d'un vecteur : (xB - xA; yB - yA).
• Milieu : ((xA+xB)/2; (yA+yB)/2).
• Distance : sqrt((Δx)^2 + (Δy)^2).
• Colinéarité : déterminant nul.
• Alignement : vecteurs colinéaires.

Pour s'entraîner

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