Fiche de révision : Colinéarité de deux vecteurs
En bref
Deux vecteurs sont colinéaires si leurs directions sont parallèles ou confondues. Cela se traduit par l'existence d'un réel k tel que u = k v, ou, en coordonnées, par la nullité du déterminant : xy' - x'y = 0. La colinéarité permet de montrer que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.
Points clés
- Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.
- Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- En coordonnées, u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires ssi xy' - x'y = 0.
- Trois points A, B, C sont alignés ssi les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
- Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
- Le déterminant xy' - x'y est aussi appelé produit scalaire en Seconde (hors programme).
Définitions & formules
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = k v.
Déterminant
Pour u(x;y) et v(x';y'), le déterminant est det(u,v) = xy' - x'y.
Condition de colinéarité
u et v colinéaires ⇔ det(u,v) = 0.
Alignement
A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires.
Parallélisme
(AB) // (CD) ⇔ AB et CD colinéaires.
Méthode flash
- 1Calculer les coordonnées des vecteurs concernés (ex: AB = (xB-xA; yB-yA)).
- 2Calculer le déterminant : det(u,v) = x_u*y_v - y_u*x_v.
- 3Si det = 0, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.
- 4Conclure : alignement ou parallélisme selon le contexte.
Exemple corrigé
Énoncé
Soient A(1;2), B(3;4), C(5;6). Les points A, B, C sont-ils alignés ?
Résolution
AB = (2;2), AC = (4;4). det = 2×4 - 2×4 = 0. Donc AB et AC colinéaires, donc A, B, C alignés.
Pièges à éviter
❌ Faux : Si det(u,v) = 0, alors u = v.
✅ Correct : det=0 signifie seulement qu'ils sont colinéaires, pas forcément égaux.
❌ Faux : Le vecteur nul n'est colinéaire à aucun vecteur.
✅ Correct : Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs car 0 = 0×v.
❌ Faux : Pour l'alignement, on peut utiliser n'importe quels vecteurs.
✅ Correct : Il faut utiliser deux vecteurs ayant un point commun (ex: AB et AC).
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