Colinéarité de deux vecteurs

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu as deux vecteurs. La colinéarité, c'est le fait qu'ils aient la même direction, qu'ils soient parallèles. Concrètement, deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Cela permet de montrer que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles, sans avoir à les tracer. C'est un outil super pratique en géométrie !

Les notions essentielles

Définition

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \times \vec{u}$. Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur.

Propriétés

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors ils ont la même direction (ou l'un est nul).
• Alignement : Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Parallélisme : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Avec les coordonnées

Dans un repère, si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x \times y' - y \times x' = 0$. Cette expression s'appelle le déterminant.

Milieu

Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$. On peut aussi dire que $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$.

Distance

La distance entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ est $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Méthode

Pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires

1. Avec la définition : cherche un nombre $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$. Si tu trouves, ils sont colinéaires.
2. Avec les coordonnées : calcule $x \times y' - y \times x'$. Si le résultat est 0, ils sont colinéaires.

Pour montrer que trois points sont alignés

1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Vérifie qu'ils sont colinéaires (avec le déterminant).

Pour montrer que deux droites sont parallèles

1. Prends deux vecteurs directeurs des droites (par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$).
2. Vérifie qu'ils sont colinéaires.

Exemple corrigé

Énoncé : On considère les points $A(1; 2)$, $B(3; 4)$ et $C(5; 6)$. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?

Correction :

1. Calcule $\overrightarrow{AB} = (3-1; 4-2) = (2; 2)$.
2. Calcule $\overrightarrow{AC} = (5-1; 6-2) = (4; 4)$.
3. Vérifie la colinéarité : $2 \times 4 - 2 \times 4 = 8 - 8 = 0$. Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
4. Conclusion : Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Autre méthode : On remarque que $\overrightarrow{AC} = 2 \times \overrightarrow{AB}$, donc ils sont colinéaires.

Erreurs fréquentes

• Confondre colinéaire et égal : Deux vecteurs colinéaires n'ont pas forcément la même norme ni le même sens. Ils peuvent être dans le même sens ou en sens contraire.
• Oublier le vecteur nul : Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs, mais attention : si un vecteur est nul, on ne peut pas dire qu'il a une direction.
• Calculer le déterminant de travers : La formule est $x \times y' - y \times x'$, pas $x \times x' - y \times y'$.
• Ne pas simplifier les fractions : Quand tu cherches $k$, assure-toi que les rapports sont égaux.

À retenir

• Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.
• Avec les coordonnées, utilise le déterminant : $x y' - y x' = 0$.
• La colinéarité sert à montrer l'alignement de points ou le parallélisme de droites.
• Le milieu et la distance sont des outils utiles pour les calculs.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec nos exercices interactifs et nos quiz sur AlloSeconde ! Tu trouveras des fiches de révision et des vidéos pour t'aider. Bon courage !