Fiche de révision : Calculer une distance dans un repère orthonormé
En bref
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) se calcule avec la formule AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2). Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2). Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Trois points sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Points clés
- La distance AB est la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées.
- Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.
- Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si x*y' - y*x' = 0.
- Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
- Un repère orthonormé a des axes perpendiculaires et une même unité de longueur sur les deux axes.
Définitions & formules
Distance AB
AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2)
Milieu I de [AB]
I( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 )
Colinéarité de u(x;y) et v(x';y')
u et v colinéaires ⇔ x*y' - y*x' = 0
Alignement de A, B, C
A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires
Méthode flash
- 1Calculer la distance : soustrais les abscisses, soustrais les ordonnées, élève chaque différence au carré, additionne, prends la racine carrée.
- 2Calculer le milieu : additionne les abscisses et divise par 2, idem pour les ordonnées.
- 3Tester la colinéarité : calcule x*y' - y*x'. Si le résultat est 0, les vecteurs sont colinéaires.
- 4Tester l'alignement : calcule les coordonnées de AB et AC, puis vérifie leur colinéarité.
Exemple corrigé
Énoncé
Soit A(1;2) et B(4;6). Calcule la distance AB et les coordonnées du milieu I de [AB].
Résolution
AB = sqrt((4-1)^2 + (6-2)^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5. I = ((1+4)/2 ; (2+6)/2) = (2,5 ; 4).
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier la racine carrée dans la distance.
✅ Correct : La distance est sqrt((Δx)^2+(Δy)^2), pas (Δx)^2+(Δy)^2.
❌ Faux : Confondre colinéarité et égalité de vecteurs.
✅ Correct : Deux vecteurs colinéaires ont des directions parallèles, pas forcément la même longueur ni le même sens.
❌ Faux : Pour l'alignement, vérifier seulement que AB et AC ont la même direction sans calcul.
✅ Correct : Il faut calculer le déterminant x_AB*y_AC - y_AB*x_AC et vérifier qu'il vaut 0.
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