Calculer une distance dans un repère orthonormé

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu veux connaître la distance entre deux points sur une carte. Dans un repère orthonormé, chaque point a des coordonnées (x ; y). La distance entre deux points, c'est la longueur du segment qui les relie. Cette longueur se calcule avec une formule qui utilise les coordonnées. C'est très utile pour vérifier si des points sont alignés, pour calculer le milieu d'un segment, ou pour montrer qu'un triangle est rectangle (avec la réciproque du théorème de Pythagore).

Les notions essentielles

Repère orthonormé

Un repère orthonormé est un repère avec deux axes perpendiculaires (l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées) et la même unité de longueur sur les deux axes.

Coordonnées d'un point

Un point A a des coordonnées (x_A ; y_A). x_A est l'abscisse, y_A est l'ordonnée.

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est donnée par la formule :

AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)

Milieu d'un segment

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : M( (x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2 )

Colinéarité et alignement

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Pour vérifier si trois points A, B, C sont alignés, on peut montrer que les vecteurs AB et AC sont colinéaires. On peut aussi utiliser les distances : si AB + BC = AC, alors les points sont alignés (et B est entre A et C).

Méthode

Pour calculer la distance entre deux points A et B dans un repère orthonormé :

1. Identifie les coordonnées : note x_A, y_A, x_B, y_B.
2. Calcule les différences : (x_B - x_A) et (y_B - y_A).
3. Élève chaque différence au carré : (x_B - x_A)^2 et (y_B - y_A)^2.
4. Additionne les carrés : (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2.
5. Prends la racine carrée : sqrt( (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 ).

Astuce : Si tu as besoin de la distance au carré (par exemple pour éviter la racine carrée), tu peux utiliser AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2.

Exemple corrigé

Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 3) et B(5 ; 7). Calcule la distance AB.

Correction :

1. Coordonnées : x_A = 2, y_A = 3, x_B = 5, y_B = 7.
2. Différences : x_B - x_A = 5 - 2 = 3 ; y_B - y_A = 7 - 3 = 4.
3. Carrés : 3^2 = 9 ; 4^2 = 16.
4. Somme : 9 + 16 = 25.
5. Racine carrée : sqrt(25) = 5.

Donc AB = 5.

Vérification : On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle imaginaire. Ici, les écarts sont 3 et 4, donc l'hypoténuse est 5 (triangle 3-4-5).

Erreurs fréquentes

• Oublier la racine carrée : Certains s'arrêtent à la somme des carrés. N'oublie pas que la distance est la racine carrée de cette somme.
• Inverser les coordonnées : L'ordre des points n'a pas d'importance car (x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2. Mais attention à ne pas mélanger abscisses et ordonnées.
• Confondre distance et milieu : La formule du milieu est différente (moyenne des coordonnées).
• Utiliser la formule dans un repère non orthonormé : La formule de distance ne fonctionne que si le repère est orthonormé (axes perpendiculaires et unités égales).
• Erreur de signe : Quand tu calcules (x_B - x_A), fais attention aux signes, surtout si les coordonnées sont négatives.

À retenir

• La distance entre A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est : AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2).
• Le milieu M de [AB] a pour coordonnées : ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).
• Pour vérifier un alignement, tu peux utiliser les vecteurs colinéaires ou la somme des distances.

Pour s'entraîner

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