Fiche de révision : Calculer les coordonnées du milieu d'un segment
En bref
Pour calculer les coordonnées du milieu d'un segment, on fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités. Cette formule permet aussi de trouver l'extrémité manquante si on connaît le milieu. La colinéarité de deux vecteurs se vérifie par l'égalité des produits en croix de leurs coordonnées, ce qui sert à démontrer l'alignement de trois points.
Points clés
- Les coordonnées du milieu I de [AB] sont : I( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ).
- Si I est le milieu de [AB], alors vecteur AI = vecteur IB.
- Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si et seulement si xy' - yx' = 0.
- Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si vecteurs AB et AC sont colinéaires.
- La distance AB se calcule par AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
- On peut trouver une extrémité connaissant le milieu et l'autre extrémité : xB = 2xI - xA, yB = 2yI - yA.
Définitions & formules
Milieu d'un segment
Point équidistant des extrémités, de coordonnées : ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2).
Colinéarité
Deux vecteurs sont colinéaires si leurs directions sont parallèles. Condition : xy' - yx' = 0.
Distance entre deux points
AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2).
Alignement
Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Méthode flash
- 1Pour calculer le milieu : applique la formule (moyenne des x, moyenne des y).
- 2Pour vérifier un milieu : calcule les coordonnées et vérifie qu'elles satisfont la formule, ou montre que vecteur AI = vecteur IB.
- 3Pour tester la colinéarité : calcule xy' - yx' ; si égal à 0, les vecteurs sont colinéaires.
- 4Pour démontrer un alignement : calcule les coordonnées de AB et AC, puis vérifie leur colinéarité.
Exemple corrigé
Énoncé
Soient A(2;3) et B(4;7). Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].
Résolution
xI = (2+4)/2 = 3 ; yI = (3+7)/2 = 5. Donc I(3;5).
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier de diviser par 2 et prendre la somme des coordonnées.
✅ Correct : Il faut diviser chaque somme par 2.
❌ Faux : Confondre colinéarité et orthogonalité : utiliser xy' + yx' = 0.
✅ Correct : La condition de colinéarité est xy' - yx' = 0.
❌ Faux : Pour la distance, oublier la racine carrée.
✅ Correct : La distance est la racine carrée de la somme des carrés des différences.
Auto-évaluation
Coche ce que tu sais faire. Le reste = à revoir en priorité.
0 / 5 — continue, tu y es presque !
Tu as revu la fiche ? Passe à l'action 💪
Teste-toi sur les exercices de Mathématiques pour ancrer ce que tu viens de réviser.
