Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Ce qu'il faut comprendre

En géométrie, on a souvent besoin de trouver le point qui se trouve exactement au milieu d'un segment. Par exemple, pour partager une tarte en deux parts égales, ou pour trouver le centre d'une ligne. Dans le plan repéré, on peut calculer les coordonnées de ce point milieu à partir des coordonnées des deux extrémités du segment. C'est très utile pour résoudre des problèmes d'alignement, de symétrie ou de vecteurs.

Les notions essentielles

Définition : Dans un repère du plan, soit deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

M( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )

Propriété :

• Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.
• Le milieu est unique.

Vocabulaire :

• Segment : ensemble des points entre A et B.
• Milieu : point équidistant de A et B (même distance).
• Coordonnées : couple (x ; y) qui donne la position d'un point.

Lien avec les vecteurs : Si on note vecteur AB = (xB - xA ; yB - yA), alors le vecteur allant de A au milieu M est la moitié du vecteur AB : vecteur AM = (1/2) * vecteur AB.

Lien avec l'alignement et la colinéarité :

• Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
• Le milieu M de [AB] est aligné avec A et B (évidemment).
• On peut utiliser le milieu pour vérifier un alignement : par exemple, si M est le milieu de [AB] et que C est aligné avec A et B, alors C, M et A sont alignés.

Lien avec la distance : La distance entre A et M est égale à la distance entre M et B, et vaut la moitié de la distance AB.

Méthode

Pour calculer les coordonnées du milieu d'un segment [AB] :

1. Identifier les coordonnées des deux points : A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
2. Appliquer la formule :
   • Abscisse du milieu : (xA + xB) / 2
   • Ordonnée du milieu : (yA + yB) / 2
3. Écrire le résultat sous la forme M( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ).

Astuce : Si tu as du mal avec les fractions, calcule d'abord la somme, puis divise par 2.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit A(3 ; -2) et B(-1 ; 4). Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB].

Solution :

1. Coordonnées : xA = 3, yA = -2 ; xB = -1, yB = 4.
2. Abscisse de M : (3 + (-1)) / 2 = (2) / 2 = 1.
3. Ordonnée de M : (-2 + 4) / 2 = (2) / 2 = 1.
4. Donc M(1 ; 1).

Vérification : On peut calculer les distances :

• AM = sqrt((1-3)^2 + (1-(-2))^2) = sqrt((-2)^2 + 3^2) = sqrt(4+9) = sqrt(13).
• BM = sqrt((1-(-1))^2 + (1-4)^2) = sqrt(2^2 + (-3)^2) = sqrt(4+9) = sqrt(13). Les distances sont égales, donc M est bien le milieu.

Erreurs fréquentes

• Oublier de diviser par 2 : certains élèves écrivent M(xA+xB ; yA+yB). Attention, il faut bien diviser chaque somme par 2.
• Confondre les coordonnées : inverser l'abscisse et l'ordonnée. Vérifie toujours l'ordre (x ; y).
• Signes négatifs : faire attention quand on additionne des nombres négatifs. Exemple : (-3) + (-5) = -8, puis diviser par 2 donne -4.
• Ne pas simplifier les fractions : si le résultat est 3/2, on peut le laisser en fraction ou l'écrire 1,5. Les deux sont corrects.
• Utiliser la formule pour autre chose : la formule du milieu ne donne pas le centre d'un cercle, ni le barycentre. Elle ne sert que pour le milieu d'un segment.

À retenir

• Le milieu M de [AB] a pour coordonnées : M( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ).
• C'est la moyenne des coordonnées des extrémités.
• Cette formule est très utile pour les problèmes de symétrie, d'alignement et de vecteurs.
• Vérifie toujours avec un petit calcul mental ou graphique.

Pour s'entraîner

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