Égalité de deux vecteurs et translation

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu veux déplacer une figure sur ton cahier sans la déformer. Tu la fais glisser d'un point à un autre : c'est une translation. Pour décrire ce glissement, on utilise un vecteur. Deux vecteurs sont égaux s'ils représentent le même déplacement : même direction, même sens, même longueur. Comprendre cette égalité te permet de travailler avec les coordonnées, de calculer des distances, de vérifier si des points sont alignés, etc.

Les notions essentielles

Définition d'un vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

une direction (la droite qui le porte),
un sens (de l'origine vers l'extrémité),
une norme (sa longueur).

On le note (\overrightarrow{AB}) où A est l'origine et B l'extrémité.

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs (\overrightarrow{AB}) et (\overrightarrow{CD}) sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On écrit (\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}).

Propriété : (\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}) équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Translation

Soit un vecteur (\vec{u}). La translation de vecteur (\vec{u}) est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que (\overrightarrow{MM'} = \vec{u}).

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère ((O; I, J)), un vecteur (\overrightarrow{AB}) a pour coordonnées ((x_B - x_A; y_B - y_A)).

Égalité en coordonnées : (\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}) si et seulement si (x_B - x_A = x_D - x_C) et (y_B - y_A = y_D - y_C).

Norme (distance)

La norme du vecteur (\overrightarrow{AB}) est la distance AB : (||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}).

Milieu d'un segment

Le milieu M de [AB] a pour coordonnées (\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right)).

Colinéarité et alignement

Deux vecteurs (\vec{u}) et (\vec{v}) sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : il existe un réel (k) tel que (\vec{v} = k \vec{u}).

Propriété : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si (\overrightarrow{AB}) et (\overrightarrow{AC}) sont colinéaires.

Méthode

1. Vérifier l'égalité de deux vecteurs

Calcule les coordonnées de chaque vecteur.
Compare les différences d'abscisses et d'ordonnées.
Si elles sont égales, les vecteurs sont égaux.

2. Calculer une distance

Utilise la formule de la norme.

3. Déterminer le milieu

Applique la formule de la moyenne des coordonnées.

4. Tester la colinéarité

Calcule les coordonnées des deux vecteurs.
Vérifie si leurs coordonnées sont proportionnelles (par exemple, (x_1 / x_2 = y_1 / y_2) si les dénominateurs non nuls).

5. Montrer que des points sont alignés

Choisis deux vecteurs, par exemple (\overrightarrow{AB}) et (\overrightarrow{AC}).
Montre qu'ils sont colinéaires.

Exemple corrigé

Énoncé : On donne A(2;3), B(5;7), C(-1;0), D(2;4).

Les vecteurs (\overrightarrow{AB}) et (\overrightarrow{CD}) sont-ils égaux ?
Calcule la distance AB.
Détermine le milieu de [AC].
Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Correction :

Coordonnées : (\overrightarrow{AB}(5-2; 7-3) = (3;4)). (\overrightarrow{CD}(2-(-1); 4-0) = (3;4)). Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux.
(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5).
Milieu M de [AC] : (x_M = \frac{2+(-1)}{2} = 0.5), (y_M = \frac{3+0}{2} = 1.5). Donc M(0.5;1.5).
(\overrightarrow{AB}(3;4)), (\overrightarrow{AC}(-1-2; 0-3) = (-3;-3)). Sont-ils colinéaires ? On cherche (k) tel que ((-3;-3) = k(3;4)). Cela donnerait (-3 = 3k) donc (k = -1), mais alors (-3 = 4 \times (-1) = -4) : faux. Donc ils ne sont pas colinéaires, les points A, B, C ne sont pas alignés.

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur et segment : Un vecteur a une direction et un sens, pas un segment.
Oublier l'ordre des points : (\overrightarrow{AB}) n'est pas égal à (\overrightarrow{BA}) (sens opposé).
Erreur de signe dans les coordonnées : (x_B - x_A) et non l'inverse.
Croire que deux vecteurs de même longueur sont égaux : Il faut aussi même direction et même sens.
Diviser par zéro en vérifiant la colinéarité : Si une coordonnée est nulle, utilise la proportionnalité avec précaution.

À retenir

(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}) ⇔ ABDC parallélogramme ⇔ (x_B - x_A = x_D - x_C) et (y_B - y_A = y_D - y_C).
Distance : (AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}).
Milieu : (\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right)).
Colinéarité : (\vec{v} = k \vec{u}).
Alignement : A, B, C alignés ⇔ (\overrightarrow{AB}) et (\overrightarrow{AC}) colinéaires.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour maîtriser les vecteurs, les coordonnées et les translations. Bon courage !