Prouver l'alignement de trois points

Ce qu'il faut comprendre

En géométrie, on a souvent besoin de vérifier si trois points sont alignés, c'est-à-dire s'ils se trouvent sur une même droite. Par exemple, pour contrôler que des points sont bien placés sur une figure, ou pour démontrer une propriété. On peut le faire de plusieurs façons : en utilisant les vecteurs, les coordonnées, les distances ou le milieu. Ce cours va te montrer comment t'y prendre, étape par étape.

Les notions essentielles

Vecteurs

Un vecteur est un objet mathématique qui a une direction, un sens et une longueur. On le note souvent $\vec{AB}$. Ses coordonnées se calculent à partir des points : si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Colinéarité

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Autrement dit, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$. Pour des vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, on vérifie la colinéarité avec le déterminant : $x \times y' - y \times x' = 0$.

Alignement de trois points

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (ou $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$, etc.).

Coordonnées du milieu

Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $\left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.

Distance entre deux points

La distance $AB$ se calcule avec la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Méthode

Pour prouver que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, tu peux utiliser l'une des méthodes suivantes :

Méthode 1 : Colinéarité de vecteurs (la plus courante)

1. Calcule les coordonnées de deux vecteurs, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Vérifie s'ils sont colinéaires : calcule le déterminant $x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC}$.
3. Si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.

Méthode 2 : Égalité de distances (si un point est le milieu)

Si $B$ est le milieu de $[AC]$, alors $AB = BC = \frac{1}{2} AC$. Mais attention : cette méthode ne fonctionne que si tu sais déjà que $B$ est le milieu.

Méthode 3 : Utilisation de l'équation de droite (si tu connais l'équation)

Si tu as l'équation de la droite passant par deux points, vérifie que le troisième point la vérifie.

Exemple corrigé

Énoncé : On donne $A(1; 2)$, $B(3; 4)$, $C(5; 6)$. Montrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Correction :

1. On calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

   • $\vec{AB}(3-1; 4-2) = (2; 2)$
   • $\vec{AC}(5-1; 6-2) = (4; 4)$

2. On vérifie la colinéarité : déterminant = $2 \times 4 - 2 \times 4 = 8 - 8 = 0$.

3. Le déterminant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Autre méthode (avec le milieu) :

• Le milieu de $[AC]$ est $\left( \frac{1+5}{2} ; \frac{2+6}{2} \right) = (3; 4)$, qui est exactement $B$. Donc $B$ est le milieu de $[AC]$, ce qui prouve l'alignement (et même plus : $B$ est entre $A$ et $C$).

Erreurs fréquentes

• Confondre colinéarité et orthogonalité : ne pas utiliser le produit scalaire (hors programme).
• Oublier de vérifier les deux vecteurs : il faut prendre deux vecteurs qui partagent le même point d'origine (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, pas $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$).
• Erreur de calcul de coordonnées : attention à l'ordre : $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$.
• Croire que si $AB = BC$, alors les points sont alignés : c'est faux ! Par exemple, un triangle isocèle a deux côtés égaux mais les trois points ne sont pas alignés.

À retenir

• Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
• La colinéarité se vérifie avec le déterminant : $x \times y' - y \times x' = 0$.
• On peut aussi utiliser le milieu si un point est le milieu des deux autres.
• Attention aux erreurs de calcul et aux confusions.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches d'exercices progressifs pour maîtriser l'alignement de trois points.