Fiche de révision : Résoudre une inéquation du premier degré
En bref
Résoudre une inéquation du premier degré, c'est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient une inégalité du type ax + b < 0 (ou ≤, >, ≥). On isole x en appliquant les mêmes opérations que pour une équation, mais avec une règle supplémentaire : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. La solution s'exprime sous forme d'intervalle.
Points clés
- Une inéquation du premier degré se ramène à la forme ax + b < 0 (ou ≤, >, ≥).
- On isole x en ajoutant ou soustrayant des termes, puis en multipliant ou divisant par le coefficient de x.
- Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
- La solution est un intervalle (ou une réunion d'intervalles) que l'on représente sur une droite graduée.
- On peut vérifier une solution en remplaçant x par une valeur de l'intervalle dans l'inéquation initiale.
- Les identités remarquables (a+b)^2, (a-b)^2, (a-b)(a+b) servent à factoriser ou développer avant de résoudre.
- Modéliser un problème par une inéquation permet de trouver des valeurs qui satisfont une contrainte.
Définitions & formules
Inéquation du premier degré
Inégalité de la forme ax + b < 0 (ou ≤, >, ≥) avec a ≠ 0.
Règle de changement de sens
Si on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, on inverse le signe de l'inégalité.
Intervalle
Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. Notation : [a ; b], ]a ; b[, etc.
Identité remarquable
Formule de développement ou factorisation : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ; (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ; (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.
Méthode flash
- 1Développer ou factoriser si nécessaire (utiliser les identités remarquables).
- 2Regrouper tous les termes contenant x dans un membre, les constantes dans l'autre.
- 3Diviser par le coefficient de x : si le coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
- 4Écrire la solution sous forme d'intervalle et la représenter sur une droite graduée.
Exemple corrigé
Énoncé
Résoudre 2x - 5 < 3x + 1.
Résolution
2x - 5 < 3x + 1 → 2x - 3x < 1 + 5 → -x < 6 → x > -6 (car division par -1 inverse le sens). Solution : ]-6 ; +∞[.
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier d'inverser le sens quand on divise par un nombre négatif.
✅ Correct : Toujours vérifier le signe du coefficient avant de diviser.
❌ Faux : Confondre < et ≤ pour les bornes de l'intervalle.
✅ Correct : Si l'inégalité est stricte (< ou >), la borne est exclue (crochet ouvert). Si elle est large (≤ ou ≥), la borne est incluse (crochet fermé).
❌ Faux : Appliquer la règle de changement de sens à une addition ou soustraction.
✅ Correct : La règle ne s'applique que pour la multiplication ou la division par un nombre négatif.
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