Résoudre une inéquation du premier degré

Ce qu'il faut comprendre

Une inéquation, c'est comme une équation, mais au lieu d'un signe "=", tu as un signe d'inégalité : <, >, ≤ ou ≥. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue (souvent x) qui rendent l'inégalité vraie. Par exemple, si tu as 2x + 3 > 7, tu cherches les x tels que 2x + 3 soit plus grand que 7.

Dans la vie courante, les inéquations servent à modéliser des situations avec des contraintes : "il faut au moins 10 €", "la température ne dépasse pas 30°C", etc. En Seconde, tu vas apprendre à les résoudre proprement, en utilisant les mêmes techniques que pour les équations, mais avec une attention particulière au sens de l'inégalité.

Les notions essentielles

Définition

Une inéquation du premier degré est une inégalité qui peut s'écrire sous la forme :

ax + b < 0 (ou >, ≤, ≥)

avec a ≠ 0. a et b sont des nombres réels (connus).

Propriété fondamentale

Quand on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d'une inégalité, le sens de l'inégalité ne change pas.

Quand on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement positif, le sens de l'inégalité ne change pas.

Quand on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change (le signe < devient >, etc.).

Vocabulaire

Membre : chaque partie de l'inégalité (gauche et droite).
Solution : une valeur de x qui vérifie l'inégalité.
Ensemble des solutions : toutes les solutions, souvent représenté par un intervalle.
Intervalle : un ensemble de nombres (exemple : ]2 ; +∞[ signifie tous les nombres strictement supérieurs à 2).

Rappel : identités remarquables

Elles peuvent apparaître dans les inéquations après développement. Les trois identités à connaître :

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²

Méthode

Pour résoudre une inéquation du premier degré, suis ces étapes :

Développer et réduire chaque membre si nécessaire (utilise les identités remarquables si besoin).
Regrouper les termes en x dans un membre et les constantes dans l'autre, en ajoutant ou soustrayant.
Réduire pour obtenir une forme du type ax < b (ou >, ≤, ≥).
Diviser par a (le coefficient de x) :
- Si a > 0 : le sens de l'inégalité ne change pas.
- Si a < 0 : le sens de l'inégalité change.
Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Important : Vérifie toujours si tu as multiplié ou divisé par un nombre négatif !

Exemple corrigé

Résous l'inéquation : 3(x – 2) + 1 > 2x – 5

Étape 1 : Développer 3x – 6 + 1 > 2x – 5 3x – 5 > 2x – 5

Étape 2 : Regrouper On soustrait 2x des deux côtés : 3x – 5 – 2x > 2x – 5 – 2x x – 5 > –5

Étape 3 : Isoler x On ajoute 5 des deux côtés : x – 5 + 5 > –5 + 5 x > 0

Étape 4 : Ensemble des solutions Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 0. En intervalle : ]0 ; +∞[

Vérification : prends x = 1 (qui est > 0) : 3(1 – 2) + 1 = 3(–1) + 1 = –3 + 1 = –2 ; 2×1 – 5 = 2 – 5 = –3 ; –2 > –3 est vrai. Prends x = 0 (non inclus) : 3(0 – 2) + 1 = –6 + 1 = –5 ; 2×0 – 5 = –5 ; –5 > –5 est faux (car > strict). C'est correct.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif. Exemple : –2x < 6 → x > –3 (et non x < –3).
Confondre < et ≤ : ne pas oublier que ≤ inclut l'égalité, donc l'intervalle est fermé (crochet [ ou ]).
Mal développer avec les identités remarquables : vérifie toujours tes calculs.
Ne pas vérifier la solution avec une valeur test.
Oublier que diviser par zéro est impossible : si a = 0, ce n'est plus une inéquation du premier degré.

À retenir

Une inéquation du premier degré se résout comme une équation, mais attention au changement de sens quand on multiplie/divise par un nombre négatif.
L'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle.
Les identités remarquables peuvent t'aider à développer.
Toujours vérifier avec une valeur test.

Pour s'entraîner

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