Fiche de révision : Résoudre une équation produit nul simple
En bref
Une équation produit nul est de la forme A × B = 0. Sa résolution repose sur la propriété : un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. On résout donc A = 0 ou B = 0. Cette méthode s'applique aussi après factorisation d'une expression littérale, y compris avec les identités remarquables.
Points clés
- Une équation produit nul a la forme A × B = 0.
- Propriété : si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0.
- On résout chaque équation séparément.
- Les solutions sont les valeurs trouvées pour chaque facteur.
- Avant d'appliquer la propriété, il faut souvent factoriser l'expression.
- Les identités remarquables (a+b)^2, (a-b)^2, a^2-b^2 aident à factoriser.
- Ne pas oublier de vérifier que l'équation est bien égale à zéro.
Définitions & formules
Équation produit nul
Équation de la forme A(x) × B(x) = 0.
Propriété du produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Factorisation
Transformer une somme en produit.
Identité remarquable (a+b)^2
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
Identité remarquable (a-b)^2
a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
Identité remarquable a^2 - b^2
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Méthode flash
- 1Vérifier que l'équation est bien de la forme A × B = 0 (sinon factoriser).
- 2Appliquer la propriété : A = 0 ou B = 0.
- 3Résoudre chaque équation simple.
- 4Donner l'ensemble des solutions.
Exemple corrigé
Énoncé
Résoudre (x-3)(2x+5)=0
Résolution
x-3=0 ou 2x+5=0 → x=3 ou x=-5/2. S = {3 ; -5/2}
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier de factoriser et appliquer la propriété à une somme.
✅ Correct : La propriété ne s'applique qu'à un produit. Factorise d'abord.
❌ Faux : Résoudre x(x-1)=0 en donnant x=0 ou x=1 sans vérifier.
✅ Correct : C'est correct, mais il faut bien écrire les deux équations.
❌ Faux : Confondre (x-2)^2=0 avec x-2=0 (solution double).
✅ Correct : (x-2)^2=0 équivaut à (x-2)(x-2)=0 donc x-2=0, solution unique x=2.
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