Fiche de révision : Puissances de 10 et écriture scientifique
En bref
Maîtrise les puissances de 10 (positives et négatives), l'écriture scientifique (a×10^n avec 1≤a<10), les fractions, les puissances (a^n), les racines carrées (√a), les unités (préfixes nano à giga) et les ordres de grandeur (puissance de 10 la plus proche).
Points clés
- 10^n = 1 suivi de n zéros ; 10^{-n} = 0,00...1 avec n décimales.
- Écriture scientifique : a×10^n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
- Pour multiplier des puissances de 10 : 10^m × 10^n = 10^{m+n}.
- Pour diviser : 10^m / 10^n = 10^{m-n}.
- Ordre de grandeur : puissance de 10 la plus proche du nombre.
- Préfixes : nano (10^{-9}), micro (10^{-6}), milli (10^{-3}), centi (10^{-2}), kilo (10^3), méga (10^6), giga (10^9).
- √a est le nombre positif dont le carré vaut a (a ≥ 0).
Définitions & formules
Puissance de 10
10^n = 10×10×...×10 (n fois) si n>0 ; 10^{-n} = 1/10^n si n<0 ; 10^0=1.
Écriture scientifique
a×10^n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
Ordre de grandeur
Puissance de 10 la plus proche du nombre.
Racine carrée
√a = b si b ≥ 0 et b^2 = a.
Fraction
a/b avec b ≠ 0 ; a est le numérateur, b le dénominateur.
Puissance d'un nombre
a^n = a×a×...×a (n fois) si n>0 ; a^{-n}=1/a^n ; a^0=1 (a≠0).
Méthode flash
- 1Pour écrire un nombre en écriture scientifique : placer la virgule après le premier chiffre non nul, compter le décalage (n positif si décalage vers la gauche, négatif si vers la droite).
- 2Pour calculer avec des puissances de 10 : appliquer 10^m × 10^n = 10^{m+n} et 10^m / 10^n = 10^{m-n}.
- 3Pour trouver l'ordre de grandeur : écrire le nombre en écriture scientifique, puis arrondir a à 1 si a<3,16 ou à 10 si a≥3,16 ; multiplier par 10^n.
Exemple corrigé
Énoncé
Donne l'écriture scientifique de 0,0000456 et son ordre de grandeur.
Résolution
0,0000456 = 4,56×10^{-5} (virgule décalée de 5 rangs vers la droite). Ordre de grandeur : 4,56 ≥ 3,16 donc arrondi à 10 → 10×10^{-5}=10^{-4}.
Pièges à éviter
❌ Faux : Écrire 0,5×10^3 comme écriture scientifique.
✅ Correct : L'écriture scientifique exige 1 ≤ a < 10, donc 5×10^2.
❌ Faux : Confondre 10^{-3} et -10^3.
✅ Correct : 10^{-3}=0,001 ; -10^3=-1000.
❌ Faux : Oublier que √(a×b) = √a × √b seulement si a,b ≥ 0.
✅ Correct : √(4×9)=√4×√9=2×3=6.
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