Puissances de 10 et écriture scientifique

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des nombres très grands, comme la distance Terre-Soleil (150 000 000 km), ou très petits, comme la taille d'un virus (0,000 000 1 m). Les écrire avec tous leurs zéros est long et source d'erreurs. Les puissances de 10 et l'écriture scientifique sont des outils pour écrire ces nombres de façon simple et lisible. Elles te permettent aussi de comparer facilement des ordres de grandeur et de faire des calculs avec des nombres très grands ou très petits.

Les notions essentielles

Puissances de 10

Une puissance de 10 s'écrit 10^n, où n est un nombre entier relatif.

Si n > 0 : 10^n = 1 suivi de n zéros. Exemple : 10^3 = 1000.
Si n = 0 : 10^0 = 1.
Si n < 0 : 10^n = 0, suivi de |n| zéros puis 1. Exemple : 10^{-3} = 0,001.

Propriétés (à connaître par cœur)

10^a × 10^b = 10^{a+b}
10^a / 10^b = 10^{a-b}
(10^a)^b = 10^{a×b}

Écriture scientifique

Un nombre en écriture scientifique s'écrit : a × 10^n, avec 1 ≤ a < 10 (a est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.

Exemples :

150 000 000 = 1,5 × 10^8
0,000 000 1 = 1 × 10^{-7}

Ordre de grandeur

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche. Pour le trouver, on écrit le nombre en écriture scientifique, puis on arrondit a à 1 si a < 5, ou à 10 si a ≥ 5 (ce qui augmente n de 1).

Exemple : 3,2 × 10^4 a pour ordre de grandeur 10^4 (car 3,2 < 5). 7,8 × 10^4 a pour ordre de grandeur 10^5 (car 7,8 ≥ 5).

Unités et préfixes

Les puissances de 10 sont utilisées avec les unités :

kilo (k) = 10^3
méga (M) = 10^6
giga (G) = 10^9
milli (m) = 10^{-3}
micro (µ) = 10^{-6}
nano (n) = 10^{-9}

Méthode

Convertir un nombre en écriture scientifique

Place la virgule après le premier chiffre non nul.
Compte le nombre de décalages : si tu décales vers la gauche, n est positif ; vers la droite, n est négatif.
Écris le nombre sous la forme a × 10^n.

Exemple : 0,000 56 → décaler la virgule de 4 rangs vers la droite → 5,6 × 10^{-4}.

Calculer avec des puissances de 10

Multiplier : (a × 10^m) × (b × 10^n) = (a×b) × 10^{m+n}
Diviser : (a × 10^m) / (b × 10^n) = (a/b) × 10^{m-n}
Additionner/soustraire : il faut d'abord mettre les nombres sous la même puissance de 10.

Trouver un ordre de grandeur

Écris le nombre en écriture scientifique.
Si a < 5, ordre = 10^n ; si a ≥ 5, ordre = 10^{n+1}.

Exemple corrigé

Énoncé : La distance Terre-Soleil est d'environ 149 600 000 km. Donne cette distance en écriture scientifique, puis en mètres avec une puissance de 10. Quel est son ordre de grandeur en mètres ?

Correction :

Écriture scientifique en km :
- Premier chiffre non nul : 1. On place la virgule après : 1,496 000 00.
- On a décalé la virgule de 8 rangs vers la gauche → n = 8.
- Donc 149 600 000 km = 1,496 × 10^8 km.
Conversion en mètres :
- 1 km = 10^3 m, donc 1,496 × 10^8 km = 1,496 × 10^8 × 10^3 m = 1,496 × 10^{11} m.
Ordre de grandeur :
- a = 1,496 < 5, donc ordre = 10^{11} m.

Erreurs fréquentes

Oublier que 10^0 = 1 : ne pas confondre avec 0.
Mal compter les décalages : pour un nombre comme 0,001, on décale vers la droite, donc n est négatif. Attention au signe.
Écriture scientifique incorrecte : a doit être entre 1 et 10 (exclu). 12 × 10^3 n'est pas correct, il faut 1,2 × 10^4.
Ordre de grandeur mal déterminé : ne pas oublier d'arrondir a. Si a = 5, on prend 10^{n+1}.
Additionner des puissances sans les égaliser : 2 × 10^3 + 3 × 10^4 ne donne pas 5 × 10^7 ! Il faut d'abord les mettre sous la même puissance.

À retenir

10^n : n positif → grand, n négatif → petit.
Écriture scientifique : a × 10^n avec 1 ≤ a < 10.
Propriétés : 10^a × 10^b = 10^{a+b} ; 10^a / 10^b = 10^{a-b} ; (10^a)^b = 10^{a×b}.
Ordre de grandeur : puissance de 10 la plus proche.
Les préfixes (k, M, G, m, µ, n) correspondent à des puissances de 10.

Pour s'entraîner

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