Fiche de révision : Racine carrée et carrés parfaits
En bref
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. Un carré parfait est un entier qui est le carré d'un entier. Les fractions, puissances et racines carrées obéissent à des règles de calcul spécifiques. L'ordre de grandeur permet d'estimer rapidement un résultat.
Points clés
- √a est défini seulement pour a ≥ 0 et √a ≥ 0.
- Carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
- √(a×b) = √a × √b pour a,b ≥ 0.
- √(a/b) = √a / √b pour a ≥ 0, b > 0.
- √(a^2) = |a| (valeur absolue), pas a.
- Pour additionner des racines, il faut le même radicande : a√c + b√c = (a+b)√c.
- L'ordre de grandeur d'une racine carrée s'obtient en encadrant le nombre entre deux carrés parfaits.
Définitions & formules
Racine carrée
√a est le nombre positif tel que (√a)^2 = a, pour a ≥ 0.
Carré parfait
Entier égal au carré d'un entier : n = k^2 avec k entier.
Puissance
a^n = a × a × ... × a (n fois). a^0 = 1 (a ≠ 0).
Fraction
a/b avec b ≠ 0. Simplifier : diviser numérateur et dénominateur par un même facteur.
Ordre de grandeur
Valeur approchée à la puissance de 10 la plus proche.
Méthode flash
- 1Simplifier une racine : écrire le nombre sous la forme d'un produit d'un carré parfait et d'un autre facteur, puis appliquer √(a×b) = √a × √b.
- 2Additionner/soustraire des racines : réduire chaque racine à la forme a√c, puis additionner les coefficients si le radicande c est identique.
- 3Multiplier des racines : utiliser √a × √b = √(a×b) et simplifier le résultat.
- 4Diviser des racines : utiliser √a / √b = √(a/b) et simplifier la fraction.
Exemple corrigé
Énoncé
Simplifier √72.
Résolution
72 = 36 × 2, donc √72 = √36 × √2 = 6√2.
Pièges à éviter
❌ Faux : √(a+b) = √a + √b
✅ Correct : √(a+b) ne se simplifie pas. Exemple : √(9+16) = √25 = 5, mais √9+√16 = 3+4 = 7.
❌ Faux : √(a^2) = a
✅ Correct : √(a^2) = |a|. Exemple : √((-3)^2) = √9 = 3 = |-3|.
❌ Faux : √(a/b) = √a / √b même si b=0
✅ Correct : b doit être strictement positif, car la division par 0 est interdite.
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