Racine carrée et carrés parfaits

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré les carrés : par exemple, 3² = 9, 5² = 25. La racine carrée, c'est l'opération inverse : elle permet de retrouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne un certain résultat. Ainsi, √9 = 3 car 3 × 3 = 9, et √25 = 5 car 5 × 5 = 25.

Les racines carrées sont très utiles en géométrie (pour calculer des longueurs avec le théorème de Pythagore), en physique (pour des formules de vitesse ou d'énergie), et dans la vie courante (par exemple, pour calculer un côté d'un carré à partir de son aire).

Les carrés parfaits sont les nombres qui sont le carré d'un entier : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc. Leur racine carrée est un entier. Pour les autres nombres, la racine carrée n'est pas un entier (par exemple √2 ≈ 1,414).

Les notions essentielles

Définition

Soit a un nombre positif (a ≥ 0). La racine carrée de a, notée √a, est l'unique nombre positif dont le carré est égal à a :

(√a)² = a et √a ≥ 0.

Attention : La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels (on ne peut pas calculer √(-4) en Seconde).

Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre qui peut s'écrire comme le carré d'un entier relatif. Par exemple :

0 = 0²
1 = 1² ou (-1)²
4 = 2² ou (-2)²
9 = 3² ou (-3)²
16 = 4² ou (-4)²
25 = 5² ou (-5)²
36 = 6² ou (-6)²
49 = 7² ou (-7)²
64 = 8² ou (-8)²
81 = 9² ou (-9)²
100 = 10² ou (-10)²
etc.

Propriétés

Pour a ≥ 0 : √(a²) = a (car a est positif). Exemple : √(5²) = 5.
Pour tout nombre a (positif ou négatif) : √(a²) = |a| (valeur absolue). Exemple : √((-3)²) = √9 = 3 = |-3|.
Produit : Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √(a × b) = √a × √b. Exemple : √(4 × 9) = √36 = 6 et √4 × √9 = 2 × 3 = 6.
Quotient : Pour a ≥ 0 et b > 0, √(a / b) = √a / √b. Exemple : √(16 / 4) = √4 = 2 et √16 / √4 = 4 / 2 = 2.
Addition et soustraction : En général, √a + √b ≠ √(a+b). Il ne faut jamais additionner les racines comme ça ! Exemple : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9+16) = √25 = 5. Les résultats sont différents.

Lien avec les puissances

La racine carrée peut aussi s'écrire avec une puissance fractionnaire : √a = a^(1/2). Mais en Seconde, on utilise surtout la notation √.

Méthode

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier √N, on cherche le plus grand carré parfait qui divise N. On utilise la propriété du produit.

Étapes :

Décompose N en produit d'un carré parfait (le plus grand possible) et d'un autre nombre.
Applique √(carré × reste) = √carré × √reste.
Calcule la racine du carré parfait (entier).

Exemple : Simplifier √72.

72 = 36 × 2 (36 est le plus grand carré parfait divisant 72).
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2.

Calculer avec des fractions

Quand une racine carrée apparaît dans une fraction, on peut parfois simplifier.

Exemple : √(25/9) = √25 / √9 = 5/3.

Ordre de grandeur

Pour estimer une racine carrée, encadre-la entre deux entiers consécutifs.

Exemple : √50. 7² = 49, 8² = 64, donc 7 < √50 < 8. Plus précisément, √50 ≈ 7,07.

Exemple corrigé

Énoncé : Simplifie l'expression suivante : A = √(48) + √(27) - √(12).

Correction :

Simplifie chaque racine séparément.
- √48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3.
- √27 = √(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3.
- √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3.
Remplace dans A : A = 4√3 + 3√3 - 2√3.
Additionne les termes semblables : (4 + 3 - 2)√3 = 5√3.

Réponse : A = 5√3.

Erreurs fréquentes

Confondre √(a+b) et √a + √b. Exemple : √(9+16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Les deux sont différents.
Oublier que √a est toujours positif. Exemple : √9 = 3, pas -3 (même si (-3)² = 9).
Simplifier trop vite sans trouver le plus grand carré parfait. Exemple : √72 = √(4 × 18) = 2√18, mais 18 n'est pas simplifié au maximum (car 18 = 9 × 2). Il faut continuer : 2√18 = 2 × √(9 × 2) = 2 × 3√2 = 6√2.
Écrire √(-4) = -2 ou autre. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas en Seconde.

À retenir

√a est le nombre positif dont le carré vaut a (a ≥ 0).
Les carrés parfaits : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
Propriétés : √(a×b) = √a × √b ; √(a/b) = √a / √b (avec b > 0).
√(a²) = |a|.
On ne peut pas additionner les racines : √a + √b ≠ √(a+b).
Pour simplifier, cherche le plus grand carré parfait dans le nombre.

Pour s'entraîner

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