Fiche de révision : Maximum et minimum sur un intervalle
En bref
Pour une fonction sur un intervalle, le maximum est la plus grande valeur atteinte, le minimum la plus petite. Savoir lire un tableau de variations et utiliser les fonctions de référence (affine, carré, inverse) permet de déterminer ces extremums.
Points clés
- Le maximum d'une fonction f sur un intervalle I est la plus grande valeur f(x) pour x dans I.
- Le minimum d'une fonction f sur un intervalle I est la plus petite valeur f(x) pour x dans I.
- Un extremum est soit un maximum, soit un minimum.
- Sur un intervalle fermé, une fonction continue admet un maximum et un minimum (admis en Seconde).
- Pour une fonction affine f(x)=ax+b, le maximum et le minimum sont aux bornes de l'intervalle.
- Pour la fonction carré f(x)=x², sur [a;b] avec a<b, le minimum est 0 si 0∈[a;b], sinon aux bornes.
- Pour la fonction inverse f(x)=1/x, sur un intervalle ne contenant pas 0, les extremums sont aux bornes.
Définitions & formules
Maximum sur I
M est le maximum de f sur I si M = f(x₀) pour un x₀∈I et f(x) ≤ M pour tout x∈I.
Minimum sur I
m est le minimum de f sur I si m = f(x₀) pour un x₀∈I et f(x) ≥ m pour tout x∈I.
Fonction affine
f(x)=ax+b, avec a coefficient directeur et b ordonnée à l'origine.
Fonction carré
f(x)=x², décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
Fonction inverse
f(x)=1/x, décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[.
Méthode flash
- 1Lire le tableau de variations : le maximum est la valeur la plus haute dans la ligne f(x), le minimum la plus basse.
- 2Pour une fonction affine sur [a;b], calculer f(a) et f(b) : le plus grand est le max, le plus petit le min.
- 3Pour la fonction carré sur [a;b] : si 0 est dans l'intervalle, le min est 0 ; sinon le min est la plus petite des valeurs f(a), f(b). Le max est la plus grande de f(a), f(b).
- 4Pour la fonction inverse sur [a;b] (a et b de même signe) : le max est f(a) si a<b et a,b>0, sinon f(b) ; le min est l'autre.
Exemple corrigé
Énoncé
Soit f(x)=x² sur [-2;1]. Déterminer le maximum et le minimum de f sur cet intervalle.
Résolution
f(-2)=4, f(1)=1. L'intervalle contient 0, donc le minimum est f(0)=0. Le maximum est 4 (en x=-2).
Pièges à éviter
❌ Faux : Confondre maximum et image maximale : dire 'le maximum est x=3' au lieu de 'le maximum est f(3)=5'.
✅ Correct : Le maximum est une valeur de f(x), pas un x.
❌ Faux : Pour la fonction carré, croire que le minimum est toujours aux bornes.
✅ Correct : Si l'intervalle contient 0, le minimum est 0 (au sommet de la parabole).
❌ Faux : Pour la fonction inverse, oublier qu'elle n'est pas définie en 0.
✅ Correct : L'intervalle ne doit pas contenir 0, sinon il n'y a pas de maximum ou minimum global.
Auto-évaluation
Coche ce que tu sais faire. Le reste = à revoir en priorité.
0 / 5 — continue, tu y es presque !
Tu as revu la fiche ? Passe à l'action 💪
Teste-toi sur les exercices de Mathématiques pour ancrer ce que tu viens de réviser.
