Maximum et minimum sur un intervalle

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu observes la température dans une journée. Elle monte, elle descend. À un moment, elle atteint sa valeur la plus haute (le maximum) et à un autre, sa valeur la plus basse (le minimum). En maths, on fait pareil avec les fonctions : on cherche la plus grande et la plus petite valeur qu'une fonction peut prendre sur un intervalle donné. Cela permet de résoudre des problèmes concrets : trouver le bénéfice maximal, la hauteur maximale d'une balle, ou la concentration minimale d'un produit.

Les notions essentielles

Maximum et minimum sur un intervalle

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et soit a un nombre de I.

Maximum : On dit que f(a) est le maximum de f sur I si, pour tout x dans I, f(x) ≤ f(a).
Minimum : On dit que f(a) est le minimum de f sur I si, pour tout x dans I, f(x) ≥ f(a).

Autrement dit, le maximum est la plus grande valeur atteinte, le minimum la plus petite.

Variations d'une fonction

Les variations d'une fonction décrivent comment elle évolue :

Croissante : quand x augmente, f(x) augmente.
Décroissante : quand x augmente, f(x) diminue.
Constante : quand x augmente, f(x) ne change pas.

Le maximum et le minimum se trouvent souvent là où la fonction change de sens (par exemple, de croissante à décroissante).

Fonctions de référence

Fonction affine

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Si a > 0, la fonction est croissante.
Si a < 0, la fonction est décroissante.
Si a = 0, la fonction est constante.

Sur un intervalle fermé [m ; n], le maximum et le minimum d'une fonction affine sont atteints aux bornes de l'intervalle.

Fonction carré

f(x) = x².

Décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[.
Minimum : 0 atteint en x = 0. Pas de maximum sur ℝ, mais sur un intervalle fermé, le maximum est à l'une des bornes.

Fonction inverse

f(x) = 1/x (définie sur ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[).

Décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
Pas de maximum ni minimum sur ℝ privé de 0, mais sur un intervalle fermé ne contenant pas 0, les extrémums sont aux bornes.

Méthode

Pour trouver le maximum et le minimum d'une fonction sur un intervalle [a ; b] :

Détermine les variations de la fonction sur l'intervalle (à l'aide de la courbe, du tableau de variations, ou des propriétés des fonctions de référence).
Repère les points où la fonction change de sens (maximum ou minimum local).
Calcule les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle et aux points où elle change de sens.
Compare ces valeurs : la plus grande est le maximum, la plus petite le minimum.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit f(x) = x² définie sur [-2 ; 3]. Trouve le maximum et le minimum de f sur cet intervalle.

Correction :

Variations : f(x) = x² est décroissante sur [-2 ; 0] et croissante sur [0 ; 3].
Changement de sens en x = 0.
Calculs :
- f(-2) = (-2)² = 4
- f(0) = 0² = 0
- f(3) = 3² = 9
Comparaison : 0 < 4 < 9. Donc le minimum est 0 (atteint en x=0) et le maximum est 9 (atteint en x=3).

Réponse : Maximum = 9, Minimum = 0.

Erreurs fréquentes

Confondre maximum et minimum : le maximum est la plus grande valeur, le minimum la plus petite.
Oublier les bornes : sur un intervalle fermé, les extrémums peuvent être aux extrémités.
Croire qu'une fonction carré a un maximum : sur ℝ, elle n'a qu'un minimum ; sur un intervalle, il faut vérifier.
Négliger le domaine : pour la fonction inverse, éviter les intervalles contenant 0.

À retenir

Maximum = valeur la plus grande, Minimum = valeur la plus petite.
Pour une fonction affine, les extrémums sont aux bornes.
Pour la fonction carré, minimum en 0 ; maximum aux bornes de l'intervalle.
Pour la fonction inverse, pas d'extrémum sur ℝ privé de 0 ; sur un intervalle, aux bornes.
Toujours comparer les valeurs aux bornes et aux points de changement de variation.

Pour s'entraîner

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