Fiche de révision : Fonction inverse : courbe et variations
En bref
La fonction inverse f(x)=1/x est définie sur R privé de 0. Sa courbe est une hyperbole composée de deux branches. Elle est décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[. Son tableau de variations montre qu'elle n'a ni maximum ni minimum.
Points clés
- La fonction inverse est définie pour tout x ≠ 0 par f(x)=1/x.
- Sa courbe représentative est une hyperbole avec deux branches symétriques par rapport à l'origine.
- La fonction inverse est décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[.
- Elle n'est pas définie en 0 et n'a ni maximum ni minimum.
- Pour x>0, plus x est grand, plus 1/x est petit (tend vers 0).
- Pour x<0, plus x est petit (négatif grand), plus 1/x est proche de 0 par valeurs négatives.
- La fonction inverse est impaire : f(-x) = -f(x).
Définitions & formules
Fonction inverse
f(x)=1/x, définie sur ]-∞;0[ ∪ ]0;+∞[
Hyperbole
Courbe de la fonction inverse, composée de deux branches disjointes
Décroissante
Pour tous a<b dans un intervalle, f(a) > f(b)
Fonction impaire
f(-x) = -f(x) pour tout x du domaine de définition
Méthode flash
- 1Vérifier que x ≠ 0 avant de calculer f(x)=1/x.
- 2Pour étudier les variations sur un intervalle, prendre deux nombres a<b et comparer 1/a et 1/b (attention au signe).
- 3Pour tracer la courbe, placer quelques points (x,1/x) pour x>0 et x<0, puis relier en formant deux branches d'hyperbole.
Exemple corrigé
Énoncé
Compare 1/3 et 1/5 sans calculatrice.
Résolution
3<5, sur ]0;+∞[ la fonction inverse est décroissante, donc 1/3 > 1/5.
Pièges à éviter
❌ Faux : La fonction inverse est décroissante sur tout son domaine.
✅ Correct : Elle est décroissante sur chaque intervalle séparément, mais pas sur la réunion (car 1/(-1) < 1/1 alors que -1<1).
❌ Faux : f(0)=0
✅ Correct : f(0) n'existe pas (division par zéro).
❌ Faux : La courbe est une droite.
✅ Correct : C'est une hyperbole, pas une droite.
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