Fiche de révision : Fonction carré : courbe et variations
En bref
La fonction carré f(x)=x² est définie sur ℝ, paire, décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[. Sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un minimum en 0. Il faut savoir lier son expression, son tableau de variations et sa représentation graphique.
Points clés
- La fonction carré est définie par f(x)=x² pour tout réel x.
- Elle est paire : f(-x)=f(x), donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Elle est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
- Son minimum est 0, atteint en x=0.
- Sa courbe est une parabole de sommet O(0;0).
- Pour comparer deux carrés, on utilise la monotonie sur chaque intervalle.
- La fonction carré est une fonction de référence pour l'étude des polynômes du second degré.
Définitions & formules
Fonction carré
Fonction f définie sur ℝ par f(x)=x².
Parabole
Courbe représentative de la fonction carré, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction paire
Fonction telle que f(-x)=f(x) pour tout x de son ensemble de définition.
Variations
Sens de variation : décroissante sur ]-∞;0], croissante sur [0;+∞[.
Minimum
Valeur la plus petite de la fonction, ici 0 atteint en x=0.
Méthode flash
- 1Pour comparer a² et b² : si a et b sont de même signe, on utilise la monotonie (si a<b≤0 alors a²>b² ; si 0≤a<b alors a²<b²).
- 2Pour résoudre x²=k : si k<0, pas de solution ; si k=0, solution x=0 ; si k>0, solutions x=√k et x=-√k.
- 3Pour encadrer x² à partir d'un encadrement de x : séparer les cas x négatif et x positif, puis appliquer la monotonie.
Exemple corrigé
Énoncé
Compare (-3)² et (-5)² sans calculatrice.
Résolution
On a -5 < -3 ≤ 0. Sur ]-∞;0], la fonction carré est décroissante, donc (-5)² > (-3)². Soit 25 > 9.
Pièges à éviter
❌ Faux : Croire que x² est toujours croissante sur ℝ.
✅ Correct : Elle est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
❌ Faux : Penser que (-3)² = -9.
✅ Correct : (-3)² = 9, car le carré d'un nombre négatif est positif.
❌ Faux : Confondre fonction carré et fonction affine.
✅ Correct : La fonction carré n'est pas linéaire : sa courbe n'est pas une droite.
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