Fonction carré : courbe et variations

Ce qu'il faut comprendre

La fonction carré est une des fonctions de référence que tu vas rencontrer en Seconde. Elle permet de modéliser des situations où une grandeur dépend du carré d'une autre, comme l'aire d'un carré en fonction de son côté, ou la distance de freinage d'une voiture en fonction de sa vitesse. Son étude te servira aussi à comprendre les variations de fonctions plus complexes.

Les notions essentielles

Définition de la fonction carré

La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel $x$, associe son carré $x^2$. On la note :

$$f(x) = x^2$$

Courbe représentative

La courbe de la fonction carré est une parabole. Elle a les caractéristiques suivantes :

Son sommet est à l'origine du repère, au point $(0;0)$.
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe $y$).
Elle est tournée vers le haut (les branches montent).

Variations

Les variations de la fonction carré sont les suivantes :

Pour $x < 0$, la fonction est décroissante : quand $x$ augmente, $x^2$ diminue.
Pour $x > 0$, la fonction est croissante : quand $x$ augmente, $x^2$ augmente.

On peut résumer cela dans un tableau de variations :

| $x$ | $-\infty$ | 0 | $+\infty$ | |-----|-----------|----|-----------| | $f(x)=x^2$ | (flèche descendante) | 0 | (flèche montante) |

Comparaison avec la fonction affine

Une fonction affine s'écrit $g(x) = ax + b$, avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine. Sa courbe est une droite. La fonction carré n'est pas affine : sa courbe n'est pas une droite, et ses variations ne sont pas constantes (elle change de sens).

Lien avec la fonction inverse

La fonction inverse $h(x) = \frac{1}{x}$ est une autre fonction de référence. Elle est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$, mais elle n'est pas définie en $0$. Contrairement à la fonction carré, elle n'est jamais positive pour $x<0$ (elle est négative).

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction avec la fonction carré

Identifier la fonction : si elle est de la forme $f(x) = x^2$, alors tu connais ses variations.
Si la fonction est plus complexe (par exemple $f(x) = (x-3)^2 + 2$), tu peux utiliser la translation : la courbe est la même parabole, mais décalée. Les variations sont les mêmes, mais le sommet est déplacé.
Pour comparer des images : si $a < b < 0$, alors $a^2 > b^2$ (car la fonction est décroissante sur les négatifs). Si $0 < a < b$, alors $a^2 < b^2$ (car elle est croissante sur les positifs).

Pour tracer la courbe

Calcule quelques points : $(-2;4)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$, $(2;4)$.
Place-les dans un repère.
Relie-les par une courbe lisse en forme de U.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit $f(x) = x^2$. Compare $f(-3)$ et $f(-1)$ sans calculer.

Correction :

On remarque que $-3 < -1 < 0$.
Sur l'intervalle $]-\infty;0]$, la fonction carré est décroissante.
Donc, quand $x$ augmente, $x^2$ diminue. Comme $-3 < -1$, on a $(-3)^2 > (-1)^2$.
Conclusion : $f(-3) > f(-1)$.

Vérification : $(-3)^2 = 9$ et $(-1)^2 = 1$, donc $9 > 1$, c'est correct.

Erreurs fréquentes

Confondre croissance et décroissance : sur les négatifs, plus $x$ est grand (proche de 0), plus $x^2$ est petit. Exemple : $-2 < -1$ mais $4 > 1$.
Penser que la fonction carré est toujours croissante : non, elle décroît d'abord, puis croît.
Oublier que $x^2$ est toujours positif : le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
Confondre fonction carré et fonction affine : la fonction carré n'est pas une droite.

À retenir

$f(x) = x^2$ est la fonction carré.
Sa courbe est une parabole de sommet $(0;0)$, symétrique par rapport à l'axe $y$.
Elle est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
$x^2 \ge 0$ pour tout $x$ réel.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz sur AlloSeconde ! Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser la fonction carré et ses variations.