Fonction inverse : courbe et variations

Ce qu'il faut comprendre

La fonction inverse est une fonction de référence très utile pour modéliser des situations où une grandeur diminue quand une autre augmente, par exemple la pression d'un gaz quand son volume augmente, ou le temps de parcours quand la vitesse augmente. Son expression est simple : ( f(x) = \frac{1}{x} ). Mais attention, elle n'est pas définie pour ( x = 0 ) (on ne peut pas diviser par zéro). Dans ce cours, tu vas apprendre à tracer sa courbe, à décrire ses variations et à l'utiliser pour comparer des nombres.

Les notions essentielles

Définition de la fonction inverse

La fonction inverse est la fonction définie sur ( \mathbb{R}^* ) (tous les réels sauf 0) par : [ f(x) = \frac{1}{x} ]

Courbe représentative

La courbe de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est composée de deux branches :

une branche pour ( x > 0 ) (dans le premier quadrant)
une branche pour ( x < 0 ) (dans le troisième quadrant)

La courbe ne touche jamais les axes : l'axe des abscisses (asymptote horizontale) et l'axe des ordonnées (asymptote verticale).

Variations

Sur ( ]0 ; +\infty[ ), la fonction inverse est décroissante : quand ( x ) augmente, ( \frac{1}{x} ) diminue.
Sur ( ]-\infty ; 0[ ), la fonction inverse est aussi décroissante : quand ( x ) augmente (par exemple de -5 à -1), ( \frac{1}{x} ) augmente aussi (car -0,2 > -1). Attention : il ne faut pas mélanger les deux intervalles.

Tableau de variations

| ( x ) | ( -\infty ) | 0 | ( +\infty ) | |----------|-------------------|---|------------------| | ( \frac{1}{x} ) | décroissante | | décroissante |

Comparaison de nombres avec la fonction inverse

Pour comparer ( \frac{1}{a} ) et ( \frac{1}{b} ) :

Si ( a ) et ( b ) sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs), la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est inversé : ( a < b ) entraîne ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ).
Si ( a ) et ( b ) sont de signes contraires, alors ( \frac{1}{a} ) et ( \frac{1}{b} ) sont de signes contraires, donc on compare directement.

Rappel : fonction affine

Une fonction affine s'écrit ( f(x) = ax + b ), où ( a ) est le coefficient directeur et ( b ) l'ordonnée à l'origine. Sa courbe est une droite.

Rappel : fonction carré

La fonction carré est définie par ( f(x) = x^2 ). Elle est décroissante sur ( ]-\infty ; 0] ) et croissante sur ( [0 ; +\infty[ ). Sa courbe est une parabole.

Méthode

Pour tracer la courbe de la fonction inverse

Construis un tableau de valeurs avec des ( x ) positifs et négatifs (par exemple -4, -2, -1, -0.5, 0.5, 1, 2, 4).
Calcule ( \frac{1}{x} ) pour chaque valeur.
Place les points dans un repère.
Relie les points par une courbe lisse qui s'approche des axes sans les toucher.

Pour déterminer les variations à partir d'une expression

Si tu as une expression du type ( f(x) = \frac{1}{x} + k ) ou ( f(x) = \frac{1}{x-a} ), tu peux utiliser les variations de la fonction inverse et les translations.

Pour comparer deux nombres de la forme ( \frac{1}{a} ) et ( \frac{1}{b} )

Vérifie le signe de ( a ) et ( b ).
S'ils sont de même signe, applique la décroissance : l'ordre s'inverse.
S'ils sont de signes contraires, le nombre positif est plus grand que le nombre négatif.

Exemple corrigé

Énoncé : Compare ( \frac{1}{3} ) et ( \frac{1}{5} ) sans calculatrice.

Correction :

3 et 5 sont tous deux positifs.
On a ( 3 < 5 ).
Comme la fonction inverse est décroissante sur ( ]0 ; +\infty[ ), l'ordre s'inverse : ( \frac{1}{3} > \frac{1}{5} ).

Énoncé : Soit ( f(x) = \frac{1}{x} ). Quel est le sens de variation de ( f ) sur ( ]0 ; +\infty[ ) ? Justifie.

Correction : Sur ( ]0 ; +\infty[ ), la fonction inverse est décroissante. En effet, pour tous ( a ) et ( b ) positifs tels que ( a < b ), on a ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ).

Erreurs fréquentes

Confondre croissance et décroissance : Beaucoup d'élèves pensent que ( \frac{1}{x} ) est croissante car ( \frac{1}{2} = 0,5 ) et ( \frac{1}{4} = 0,25 ), donc ça diminue. C'est bien décroissant.
Oublier que la fonction n'est pas définie en 0 : Ne jamais calculer ( \frac{1}{0} ).
Appliquer la décroissance à des nombres de signes différents : Par exemple, comparer ( \frac{1}{-2} ) et ( \frac{1}{3} ) : -2 < 3 mais ( \frac{1}{-2} = -0,5 ) et ( \frac{1}{3} \approx 0,33 ), donc ( \frac{1}{-2} < \frac{1}{3} ). L'ordre n'est pas inversé car les signes sont différents.
Tracer la courbe en touchant les axes : La courbe s'approche des axes mais ne les touche jamais.

À retenir

Fonction inverse : ( f(x) = \frac{1}{x} ), définie pour ( x \neq 0 ).
Courbe : hyperbole, deux branches, asymptotes aux axes.
Variations : décroissante sur ( ]-\infty ; 0[ ) et sur ( ]0 ; +\infty[ ).
Pour comparer ( \frac{1}{a} ) et ( \frac{1}{b} ) : si ( a ) et ( b ) ont le même signe, l'ordre s'inverse.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu y trouveras des questions pour tracer la courbe, déterminer des variations et comparer des inverses. Bon courage !