Fiche de révision : Identités remarquables en seconde
En bref
Les identités remarquables sont des formules de développement ou de factorisation à connaître par cœur. En seconde, on utilise (a+b)^2, (a-b)^2 et (a-b)(a+b) pour simplifier des expressions, résoudre des équations et inéquations, ou modéliser des problèmes.
Points clés
- Les trois identités sont : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.
- Savoir développer : appliquer la formule en remplaçant a et b par les termes de l'expression.
- Savoir factoriser : reconnaître une forme développée pour la réécrire en produit.
- Utiliser les identités pour résoudre des équations du type (x-3)^2 = 16 en passant par une différence de carrés.
- Pour les inéquations, factoriser puis étudier le signe du produit (tableau de signes).
- La modélisation consiste à traduire un problème en expression littérale, puis à utiliser les identités pour simplifier ou résoudre.
Définitions & formules
Identité remarquable
Formule de développement ou factorisation valable pour tous nombres a et b.
(a+b)^2
a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2
a^2 - 2ab + b^2
(a-b)(a+b)
a^2 - b^2
Factorisation
Transformer une somme en produit.
Développement
Transformer un produit en somme.
Méthode flash
- 1Identifier la forme : carré d'une somme, carré d'une différence, ou produit d'une somme par une différence.
- 2Appliquer la formule correspondante en remplaçant a et b par les termes exacts (attention aux signes).
- 3Simplifier l'expression obtenue (réduire, ordonner).
- 4Pour factoriser, repérer un carré parfait ou une différence de carrés dans l'expression.
Exemple corrigé
Énoncé
Développer (2x - 3)^2.
Résolution
C'est (a-b)^2 avec a=2x, b=3. Donc (2x)^2 - 2*(2x)*3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9.
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier le double produit : (x+5)^2 = x^2 + 25
✅ Correct : (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25
❌ Faux : Confondre (a-b)^2 et a^2 - b^2
✅ Correct : (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, alors que a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
❌ Faux : Mal appliquer la distributivité : (2x+3)^2 = 2x^2 + 6x + 9
✅ Correct : (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9
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