Identités remarquables en seconde

Ce qu'il faut comprendre

Les identités remarquables sont des formules qui permettent de développer ou factoriser des expressions littérales plus rapidement. Elles sont très utiles pour résoudre des équations et inéquations, ou pour modéliser des situations concrètes. En seconde, tu vas apprendre trois formules essentielles :

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Ces formules te font gagner du temps et évitent les erreurs de calcul.

Les notions essentielles

Développer

Développer, c'est transformer un produit en somme. Par exemple, (x + 3)^2 devient x^2 + 6x + 9.

Factoriser

Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Par exemple, x^2 - 9 devient (x + 3)(x - 3).

Les trois identités remarquables

1. Carré d'une somme : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

   • Exemple : (x + 5)^2 = x^2 + 2x5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25

2. Carré d'une différence : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

   • Exemple : (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 23x2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4

3. Produit d'une somme par une différence : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

   • Exemple : (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16

Vocabulaire

• Terme : chaque élément d'une expression (ex : dans 3x^2 + 2x, les termes sont 3x^2 et 2x).
• Coefficient : le nombre qui multiplie une variable (ex : dans 5x, le coefficient est 5).
• Variable : la lettre qui représente un nombre inconnu (souvent x).

Méthode

Pour développer avec une identité remarquable

1. Identifie la forme : repère si l'expression est de type (a + b)^2, (a - b)^2 ou (a + b)(a - b).
2. Détermine a et b : dans (x + 3)^2, a = x et b = 3.
3. Applique la formule : remplace a et b dans la formule correspondante.
4. Simplifie : calcule les coefficients et réduis si possible.

Pour factoriser avec une identité remarquable

1. Repère trois termes pour les carrés, ou deux termes pour la différence de carrés.
2. Vérifie si c'est un carré parfait : par exemple, 9x^2 = (3x)^2, 25 = 5^2.
3. Identifie a et b : pour a^2 - 2ab + b^2, a^2 = 9x^2 donc a = 3x, b^2 = 4 donc b = 2, vérifie que 2ab = 23x2 = 12x.
4. Écris la forme factorisée : (a - b)^2 ou (a + b)(a - b).

Pour résoudre une équation ou inéquation

1. Factorise l'expression si possible avec une identité remarquable.
2. Utilise la règle du produit nul : si un produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
3. Résous chaque équation simple obtenue.

Exemple corrigé

Énoncé : Résous l'équation (x + 2)^2 - 9 = 0.

Correction :

1. Factorise : (x + 2)^2 - 9 = (x + 2)^2 - 3^2. C'est une différence de carrés : a = x + 2, b = 3. Donc (x + 2)^2 - 3^2 = [(x + 2) + 3][(x + 2) - 3] = (x + 5)(x - 1).

2. Équation produit nul : (x + 5)(x - 1) = 0. Donc x + 5 = 0 ou x - 1 = 0.

3. Solutions : x = -5 ou x = 1.

Vérification :

• Pour x = -5 : (-5 + 2)^2 - 9 = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0.
• Pour x = 1 : (1 + 2)^2 - 9 = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0.

Les solutions sont -5 et 1.

Erreurs fréquentes

• Oublier le double produit : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, pas a^2 + b^2.
• Confondre (a - b)^2 et a^2 - b^2 : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, alors que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
• Mal identifier a et b : dans (2x + 3)^2, a = 2x, pas x. Donc a^2 = (2x)^2 = 4x^2.
• Oublier les parenthèses : (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1, pas x^2 + 1.
• Factoriser sans vérifier : pour factoriser x^2 + 6x + 9, vérifie que 9 = 3^2 et que 2x3 = 6x, donc c'est (x + 3)^2.

À retenir

• Les trois identités remarquables : (a + b)^2, (a - b)^2, (a + b)(a - b).
• Elles servent à développer ou factoriser rapidement.
• Pour résoudre une équation, factorise d'abord puis applique la règle du produit nul.
• Vérifie toujours tes calculs.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser les identités remarquables et les appliquer dans des équations et inéquations. Bon courage !