Fiche de révision : Droite dans un repère et équation réduite
En bref
Une droite dans un repère peut être décrite par son équation réduite y = mx + p, où m est la pente (coefficient directeur) et p l'ordonnée à l'origine. Cette équation permet de tracer la droite, de déterminer son parallélisme et de calculer son intersection avec une autre droite.
Points clés
- L'équation réduite d'une droite non verticale est y = mx + p.
- Le coefficient directeur m = (yB - yA) / (xB - xA) pour deux points A et B.
- L'ordonnée à l'origine p est la valeur de y quand x = 0.
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
- L'intersection de deux droites se trouve en résolvant le système de leurs équations.
- Une droite verticale a une équation de la forme x = constante (pas de forme réduite).
Définitions & formules
Équation réduite
y = mx + p, avec m coefficient directeur et p ordonnée à l'origine.
Coefficient directeur (pente)
m = (yB - yA) / (xB - xA) pour A(xA; yA) et B(xB; yB).
Ordonnée à l'origine
p = yA - m × xA (ou lecture graphique à x=0).
Parallélisme
Deux droites d'équations y = m1 x + p1 et y = m2 x + p2 sont parallèles si m1 = m2.
Intersection
Point (x; y) vérifiant les deux équations : résoudre le système.
Méthode flash
- 1Calculer m : m = (yB - yA) / (xB - xA) avec deux points distincts.
- 2Calculer p : remplacer x et y par les coordonnées d'un point dans y = mx + p, puis isoler p.
- 3Vérifier : tracer rapidement ou tester avec un autre point.
Exemple corrigé
Énoncé
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par A(1; 3) et B(3; 7).
Résolution
m = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2. Avec A : 3 = 2×1 + p → p = 1. Équation : y = 2x + 1.
Pièges à éviter
❌ Faux : Oublier que la droite verticale n'a pas d'équation réduite.
✅ Correct : Une droite verticale s'écrit x = constante.
❌ Faux : Inverser les différences dans le calcul de m : (xB - xA)/(yB - yA).
✅ Correct : m = (yB - yA) / (xB - xA).
❌ Faux : Confondre parallélisme et perpendicularité : m1 = m2 pour parallèles.
✅ Correct : Parallèles : m1 = m2. Perpendiculaires : m1 × m2 = -1 (hors programme Seconde).
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